[论文解读] Large deviations for velocity-jump processes and non-local Hamilton-Jacobi equations

Émeric Bouin, Vincent Calvez+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2016

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文为具有高斯重定向的速率跳跃过程建立了大偏差原理，推导出在速度空间中具有非局部性的非局部哈密顿-雅可比方程。引入了粘性解框架，证明了福克-普朗克方程对数变换的收敛性，并通过分段线性路径提供了变分公式，从而实现了对动能Fisher-KPP模型中前导加速的精确计算。

ABSTRACT

We investigate a simple velocity jump process in the regime of large deviation asymptotics. New velocities are taken randomly at a constant, large, rate from a Gaussian distribution with vanishing variance. The Kolmogorov forward equation associated with this process is the linear BGK kinetic transport equation. We derive a new type of Hamilton-Jacobi equation which is nonlocal with respect to the velocity variable. We introduce a suitable notion of viscosity solution, and we prove well-posedness in the viscosity sense. We also prove convergence of the logarithmic transformation towards this limit problem. Furthermore, we identify the variational formulation of the solution by means of an action functional supported on piecewise linear curves. As an application of this theory, we compute the exact rate of acceleration in a kinetic version of the celebrated Fisher-KPP equation in the one-dimensional case.

研究动机与目标

• 分析具有高斯重定向速率 $1/\varepsilon$ 的速率跳跃过程的大偏差渐近行为。
• 推导出当 $\varepsilon \to 0$ 时，对数变换 $u^\varepsilon = -\varepsilon \log f^\varepsilon$ 的极限所满足的非局部哈密顿-雅可比方程。
• 为结果中在速度变量中具有非局部性的非局部哈密顿-雅可比问题建立粘性解理论。
• 通过在分段线性曲线上使用作用量泛函，提供解的变分表示。
• 将该理论应用于计算动能Fisher-KPP方程中前导加速的精确速率。

提出的方法

• 采用缩放 $ (t/\varepsilon, x/\varepsilon^{3/2}, v/\varepsilon^{1/2}) $ 推导BGK型动能方程的大偏差极限。
• 将极限问题推导为非局部哈密顿-雅可比方程：$ \max\left(\partial_t u + v\cdot\nabla_x u -1, u - \min_{v'} u - |v|^2/2\right) = 0 $。
• 通过针对速度空间中非局部结构量身定制的次解与超解定义，引入粘性解框架。
• 为分段线性速度路径构造作用量泛函 $ \mathcal{A}_0^t[\dot\gamma] = \frac{1}{2}\sum_{\sigma \in \dot\Gamma_*} |\sigma|^2 + \mathrm{Leb}\{s: \dot\gamma(s) \neq 0\} $。
• 通过比较原理与紧致性论证，证明 $ u^\varepsilon $ 在局部一致拓扑下收敛于极限方程的粘性解。
• 应用变分公式 $ u(t,x,v) = \inf_{\gamma} \left\{ \mathcal{A}_0^t[\dot\gamma] + u_0(\gamma(0), \dot\gamma(0)) \right\} $，计算动能Fisher-KPP模型中的前导速度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在方差趋于零的重定向下，大偏差原理在速率跳跃过程中如何体现？
• RQ2 在 $ \varepsilon \to 0 $ 的极限下，此类过程的极限哈密顿-雅可比方程具有何种结构？
• RQ3 能否为具有速度空间非局部性的非局部哈密顿-雅可比方程建立粘性解理论？
• RQ4 解的变分表示在分段线性轨迹下如何表达？
• RQ5 在此缩放下，动能Fisher-KPP方程中的前导加速的精确速率是多少？

主要发现

• 极限方程为在速度变量中具有非局部性的非局部哈密顿-雅可比方程，源于速率跳跃过程的大偏差。
• 为非局部问题严格建立了粘性解理论，包括次解与超解的定义以及比较原理。
• 解可通过在分段线性曲线上取作用量泛函的下确界实现变分表示，其中每个非零速度跃迁的代价为 $ \frac{1}{2}|\sigma|^2 $，每单位时间的代价为1。
• $ u^\varepsilon = -\varepsilon \log f^\varepsilon $ 在局部一致拓扑下收敛于极限方程的粘性解，该结论已得证。
• 该理论使动能Fisher-KPP方程中前导加速速率的精确计算成为可能，解决了动能前导传播领域长期存在的开放问题。
• 通过精心构造的测试函数进行比较论证，证明作用量泛函与变分公式等价于粘性解。