[论文解读] Large scale geometry of metrisable groups

Christian Rosendal|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 34被引用 7

一句话总结

本文通过引入相对有界性（OB）性质，为可分度量拓扑群建立了规范的大尺度几何结构，该性质在非局部紧致情形下替代了紧致性。证明了当且仅当群具有局部（OB）性质时，其才具有唯一的拟等距类型；并刻画了此类群在各种几何类型的巴拿赫空间（包括自反与超自反空间）上具有度量适当的仿射等距作用的条件。

ABSTRACT

We develop a theory of large scale geometry of metrisable topological groups that, in a significant number of cases, allows one to define and identify a unique quasi-isometry type intrinsic to the topological group. Moreover, this quasi-isometry type coincides with the classical notion in the case of compactly generated locally compact groups and, for the additive group of a Banach space, is simply that of the corresponding Banach space. In particular, we characterise the class of separable metrisable groups admitting metrically proper, respectively, maximal compatible left-invariant metrics. Moreover, we develop criteria for when a metrisable group admits metrically proper affine isometric actions on Banach spaces of various degress of convexity and reflexivity. A further study of the large scale geometry of automorphism groups of countable first order model theoretical structures is separated into a companion paper.

研究动机与目标

• 为可分度量拓扑群建立超越局部紧致或有限生成情形的规范大尺度几何。
• 以度量概念——相对性质（OB）——取代拓扑紧致性，推广拟等距不变量。
• 刻画此类群何时具有度量适当的左不变相容度量及在巴拿赫空间上的仿射等距作用。
• 通过在自反与超自反巴拿赫空间上的作用，建立群的几何性质与其表示理论之间的联系。
• 为通过大尺度几何研究可数一阶结构的自同构群提供一个框架。

提出的方法

• 为可度量群的子集引入相对性质（OB）：若在每种相容左不变度量下其直径有限，则称该集合具有（OB）性质。
• 将相容左不变度量定义为度量适当的，若其每个有界子集相对于群具有（OB）性质。
• 证明任意两个可分度量群上的度量适当度量彼此粗等价，从而定义唯一的拟等距类型。
• 利用Arens–Eells空间构造，从与弱几乎周期函数相关的余循环实现巴拿赫空间上的仿射等距作用。
• 应用负类型核与Rademacher类型理论，将群的几何性质与目标巴拿赫空间的几何联系起来。
• 通过希尔伯特空间与自反空间作用的直和构造显式作用，利用具有有界支集的截断函数确保度量适当性。

实验结果

研究问题

• RQ1 可分度量群在何种条件下可通过规范的度量适当左不变度量获得唯一的拟等距类型？
• RQ2 哪些群具有在自反或超自反巴拿赫空间上度量适当的仿射等距作用？
• RQ3 局部（OB）性质是否蕴含在超自反空间上存在度量适当的行动，反之亦然？
• RQ4 该框架能否为流形或测度空间的同胚群的大尺度几何提供规范定义？
• RQ5 （OB）性质与在自反巴拿赫空间上仿射等距作用的不动点性质之间有何关系？

主要发现

• 可分度量群当且仅当其具有局部（OB）性质（即单位元的某个邻域具有（OB）性质）时，才存在度量适当的相容左不变度量。
• 此类度量诱导的拟等距类型是内在的且唯一（至多拟等距），推广了紧生成局部紧群的经典情形。
• 巴拿赫空间的加法群与该巴拿赫空间本身拟等距，表明该理论在该情形下恢复了经典的大尺度几何。
• 如 $U( ext{H})$、$ ext{Homeo}(S^n)$ 和 $ ext{Aut}([0,1]^{ n})$ 等群虽不紧致但具有（OB）性质，表明该理论的适用范围超越了局部紧致群。
• 群在超自反巴拿赫空间上具有度量适当的仿射等距作用当且仅当其具有局部（OB）性质，且此类作用可通过弱几乎周期函数显式构造。
• 群 $L^q$ 在 $ ext{max}igrace{2,pigrace}<q<igrace{ ext{infty}}$ 时无法粗等距嵌入 $L^p$，因此不能在 $L^p$ 上具有度量适当的行动，但其可通过平移作用在自身上实现此类行动。