[论文解读] Law of the exponential functional of a new family of one-sided Levy processes via self-similar continuous state branching processes with immigration and the Wright hypergeometric functions

Pierre Patie|ArXiv.org|Dec 7, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用 10

一句话总结

本文引入了一类新的单边 Lévy 过程双参数族，其 Laplace 指数涉及 Pochhammer 符号，并通过自相似连续状态分支过程带移民（continuous-state branching processes with immigration）推导出这些过程的指数泛函密度。关键结果是该密度可表示为 ${}_{1}\bar{\Psi}_{1}$ Wright 超几何函数，推广了已知结果，如 Dufresne 的逆伽马分布律和逆 Linnik 分布。

ABSTRACT

We first introduce and derive some basic properties of a two-parameters family of one-sided Levy processes. Their Laplace exponents are given in terms of the Pochhammer symbol. This family includes, in a limit case, the family of Brownian motion with drifts. Then, we proceed by computing the density of the law of the exponential functional associated to some elements of this family (and their dual) and some transformations of these elements. These densities are expressed in terms of the Wright hypergeometric functions. By means of probabilistic arguments, we derive some interesting properties enjoyed by these functions. On the way we also characterize explicitly the density of the semi-groups of the family of self-similar continuous state branching processes with immigration.

研究动机与目标

• 定义并研究一类新的单边 Lévy 过程双参数族，其 Laplace 指数涉及 Pochhammer 符号，且满足 $1 < \alpha < 2$ 和 $\gamma > -\alpha$。
• 计算该族特定成员及其变换所关联的指数泛函密度。
• 通过将 Lamperti 映射应用于这些 Lévy 过程，刻画自相似正马尔可夫过程的半群。
• 将这些过程的进入时态表示为 ${}_{1}\Psi_{1}$ Wright 超几何函数的形式。
• 通过随机分析推导 Wright 超几何函数的新的概率性质。

提出的方法

• 引入一类双参数的谱负 Lévy 过程族，其 Laplace 指数为 $\psi^{(\gamma)}(\lambda) = c\left((\lambda + \gamma)_{\alpha} - (\gamma)_{\alpha}\right)$，其中 $(\cdot)_\alpha$ 为 Pochhammer 符号。
• 应用 Lamperti 映射，将这些 Lévy 过程与自相似连续状态分支过程带移民（cbip）联系起来。
• 利用 cbip 的已知结果，推导出相关马尔可夫过程半群的空间 Laplace 变换。
• 通过幂级数技术对 Laplace 变换进行反演，获得半群密度的显式表达式。
• 将半群的进入时态表示为 Wright 超几何函数 ${}_{1}\Psi_{1}$ 的形式。
• 将这些进入时态与 Laplace 指数为 $\psi^{(0,\delta)}(\lambda) = \psi^{(0)}(\lambda) - \frac{\alpha\delta}{\lambda + \alpha - 1}\psi^{(0)}(\lambda)$ 的 Lévy 过程的指数泛函分布联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造一类新的单边 Lévy 过程族，其 Laplace 指数涉及 Pochhammer 符号，并以 $\alpha \in (1,2)$ 和 $\gamma > -\alpha$ 为参数？
• RQ2 该类 Lévy 过程及其对偶过程的指数泛函密度的显式形式是什么？
• RQ3 与这些过程相关的自相似正马尔可夫过程的进入时态如何与 Wright 超几何函数 ${}_{1}\Psi_{1}$ 相关联？
• RQ4 从这些过程的随机结构中，可以推导出 ${}_{1}\Psi_{1}$ Wright 超几何函数的哪些新概率性质？
• RQ5 该族的极限情形如何恢复已知分布，如逆伽马分布或逆 Linnik 分布？

主要发现

• Laplace 指数为 $\psi^{(0,\delta)}(\lambda)$ 的 Lévy 过程的指数泛函具有以 Wright 超几何函数 ${}_{1}\Psi_{1}$ 表示的密度。
• 当 $\alpha = 2$ 且 $\delta = 1$ 时，逆伽马分布作为特例被恢复，确认了 Dufresne 的结果。
• 逆 Linnik 分布作为该族的极限情形出现，扩展了关于稳定分布的已知结果。
• 与 $\psi^{(0,\delta)}$ Lévy 过程相关的自相似正马尔可夫过程的半群被显式地通过 Wright 超几何函数 ${}_{1}\Psi_{1}$ 刻画。
• 通过围道积分表示和留数计算，推导出 ${}_{1}\Psi_{1}$ 函数的渐近展开，得到代数和指数渐近性。
• 证明了半群的进入时态可表示为包含 ${}_{1}\Psi_{1}$ 函数系数的幂级数，为 Bessel 过程和锯齿过程之外的一类 sspMp 提供了新的显式表示。