[论文解读] Le groupe des traces de Poisson de la variete quotient h+h*/W en rang 2

Jacques Alev, Loïc Foissy|ArXiv.org|Mar 6, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 5

一句话总结

本文计算了秩为2时商簇 $\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*/W$ 的零阶泊松同调群 $HP_0$，表明其维数与相应外代数不变量的零阶霍赫希尔德同调维数一致。通过 $\mathfrak{sl}(2)$-模的表示理论与普莱西兹（plethysm）方法，作者证明了在 $A_2$ 类型下 $\dim_{\mathbb{C}} HP_0 = 1$，$B_2$ 类型下为 $2$，$G_2$ 类型下为 $3$，在这些情形下与 $HH_0$ 维数精确匹配。

ABSTRACT

Let $V$ be a symplectic space over $\mathbb{C}$, $dim_\mathbb{C} V=2l$, and let $G$ be a finite subgroup of $Sp(V)$. The invariant regular functions $\mathbb{C}[V]^G$ inherit a Poisson algebra structure and so the quotient variety ${\cal X}=V/G$ becomes then an affine algebraic Poisson variety. One can now consider the non commutative deformation of $\cal X$ given by the invariant algebra $A_l(\mathbb{C})^G$, where $A_l(\mathbb{C})$ stands for the Weyl algebra of rank $l$. There exist two families of natural examples of this situation. The first concerns wreath products of a finite subgroup of $SL(2,\mathbb{C})$ with an appropriate symmetric group acting on $(\mathbb{C}^2)^n$; the second family is constructed with a Weyl group $W$ acting on the double of the reflexion representation ${\mathfrak{h}}\oplus {\mathfrak{h}}^*$. A nice result of Berest, Etingof and Ginzburg establishes the finiteness of the dimension of $HP_0({\cal X})= \mathbb{C}[\cal X]/\{\mathbb{C}[\cal X], \mathbb{C}[\cal X]\}$, the Poisson trace group of $\cal X$. The purpose of this work is to compute this dimension in certain cases and in particular to compare it to the dimension of the usual trace group of the above mentioned non commutative deformation. The principal theorem establihed here is : {\bf Theorem.} With the above notations, we have the following equality: $$dim_\mathbb{C} HP_0({\mathfrak{h}\oplus {\mathfrak{h}}^*}/W)=dim_\mathbb{C} HH_0(A_l(\mathbb{C})^W).$$ Moreover, this common dimension is 1 in type $ A_2$, 2 in type $B_2$ and 3 in type $G_2$. We also give examples where the difference of these two dimensions is unbounded.

研究动机与目标

• 计算秩为2时商簇 $\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*/W$ 的零阶泊松同调群 $HP_0$。
• 将 $HP_0$ 与外代数不变量 $A_l(\mathbb{C})^W$ 的零阶霍赫希尔德同调 $HH_0$ 进行比较。
• 在秩为2的外代数群情形下，建立 $HP_0$ 与 $HH_0$ 维数的一致性，提示存在良好的形变性质。
• 分析泊松代数及其在由不变量的二次部分导出的李代数 $\mathfrak{g}$ 作用下的结构。
• 探讨 $HP_0$ 与 $HH_0$ 维数不同的情形，表明该差异可无限增大。

提出的方法

• 作者通过聚焦于二次部分，分析 $\mathbb{C}[\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*]^W$ 上的泊松结构，该部分构成一个李代数 $\mathfrak{g}$，作用于不变量上。
• 将 $HP_0$ 的计算归约为 $\mathbb{C}[\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*]^W$ 的平凡同型分量及其与泊松括号像的交集。
• 在秩为2的外代数群情形下，李代数 $\mathfrak{g}$ 同构于 $\mathfrak{sl}(2)$，从而可运用普莱西兹与 $\mathfrak{sl}(2)$-模的表示理论。
• 该方法依赖于对同型分量与商代数中单项式基的直接计算，特别利用了不变量环中的生成元与关系式。
• 作者利用 $HP_0 \cong R/J$ 的事实，其中 $R$ 为不变量环，$J$ 为泊松括号生成的理想，通过 $J$ 的显式生成元计算维数。
• 对于其他族（如 $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^n$），他们分别计算 $HP_0$ 与 $HH_0$ 并进行比较，表明差异随 $n$ 呈指数增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 在秩为2时，商簇 $\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*/W$ 的零阶泊松同调群 $HP_0$ 的维数是多少？
• RQ2 在秩为2的情形下，$HP_0$ 与外代数不变量的零阶霍赫希尔德同调 $HH_0$ 是否具有相同的维数？
• RQ3 泊松代数 $\mathbb{C}[\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*]^W$ 作为其二次部分李代数 $\mathfrak{g}$ 上的模，其结构如何？
• RQ4 是否存在 $HP_0$ 与 $HH_0$ 维数不同的情形？若存在，该差异最大可达到多大？
• RQ5 泊松导出理想是否总是 $\mathbb{C}[\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*]^W$ 中的结合双边理想？

主要发现

• 在 $A_2$ 类型下，$\dim_{\mathbb{C}} HP_0(\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*/W) = 1$，与 $HH_0$ 一致。
• 在 $B_2$ 类型下，$\dim_{\mathbb{C}} HP_0(\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*/W) = 2$，与 $HH_0$ 一致。
• 在 $G_2$ 类型下，$\dim_{\mathbb{C}} HP_0(\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*/W) = 3$，与 $HH_0$ 一致。
• 在 $G = (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^n$ 的情形下，$\dim_{\mathbb{C}} HP_0(S^G) = 2^n - 2$，且 $\dim_{\mathbb{C}} HH_0(A^G) = \frac{2}{3}(2^{n-1} - (-1)^{n-1})$，表明随着 $n$ 增大，差异持续增长。
• $\dim HP_0 - \dim HH_0$ 的差异渐近增长为 $\frac{2}{3}(2^n + (-1)^{n-1} - 3)$，随 $n$ 增大趋于无穷。
• 本文指出泊松导出理想不总是结合理想，反例出现在 $B_2$ 与 $G_2$ 类型中。