[论文解读] Learning Constrained Dynamics with Gauss Principle adhering Gaussian Processes

A. René Geist, Sebastian Trimpe|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2020

Gaussian Processes and Bayesian Inference参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文提出了一种遵循高斯原理的高斯过程（GP²），将机械约束（如非理想完整与非完整约束）嵌入GP的均值与协方差结构中，确保预测结果在本质上满足高斯的最小约束原理。该方法在学习受约束的拉格朗日动力学时，提升了数据效率与约束完整性，相较于标准GP在准确性和约束满足度方面均有显著提升。

ABSTRACT

The identification of the constrained dynamics of mechanical systems is often challenging. Learning methods promise to ease an analytical analysis, but require considerable amounts of data for training. We propose to combine insights from analytical mechanics with Gaussian process regression to improve the model's data efficiency and constraint integrity. The result is a Gaussian process model that incorporates a priori constraint knowledge such that its predictions adhere to Gauss' principle of least constraint. In return, predictions of the system's acceleration naturally respect potentially non-ideal (non-)holonomic equality constraints. As corollary results, our model enables to infer the acceleration of the unconstrained system from data of the constrained system and enables knowledge transfer between differing constraint configurations.

研究动机与目标

• 提升在学习受约束机械动力学时的数据效率与约束完整性。
• 将非理想（非）完整约束及质量矩阵的先验知识嵌入GP框架。
• 确保预测的加速度严格满足高斯的最小约束原理。
• 实现不同约束配置之间的知识迁移，并从未受约束的数据中推断出无约束动力学。

提出的方法

• 该方法通过Udwadia-Kalaba方程对标准GP进行变换，利用高斯原理强制约束满足。
• GP的均值函数被设计为将预测投影到由约束方程定义的加速度空间的物理有效子空间中。
• 协方差函数被设计为在尊重约束流形的同时保持不确定性结构。
• 模型将系统参数（如阻尼、惯性）作为超参数纳入，实现联合学习与知识迁移。
• 对GP输出进行线性变换，确保所有预测精确满足约束方程 $ A\ddot{q} = b $。
• 通过利用剩余加速度 $ \bar{a} $，该方法实现了从未受约束数据中推断无约束动力学的能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种GP模型，使其在本质上满足如非理想（非）完整约束等机械约束？
• RQ2 将高斯原理嵌入GP先验如何提升受约束动力学中数据效率与预测准确性？
• RQ3 该模型能否从未受约束数据中推断出无约束动力学？
• RQ4 该模型在多大程度上实现了不同约束配置之间的知识迁移？
• RQ5 该模型在外推与轨迹预测中，如何在保持约束完整性的同时表现良好？

主要发现

• GP²的约束违反误差显著低于标准GP，平均约束误差为 $ 3 \cdot 10^{-8} $，而标准GP为 $ 0.08 $。
• 在小车上的摆系统中，GP²将预测误差降低至 $ 0.023 \pm 0.032 $，优于标准GP的 $ 0.08 \pm 0.15 $。
• 在估计系统参数 $ \theta_p $ 时，GP²保持了高度的约束满足度，约束误差仅为 $ 9 \cdot 10^{-13} $。
• 该模型成功实现了在曲面上的外推预测，即使在训练数据范围之外也保持了约束的遵守。
• 使用GP²的轨迹预测始终位于约束曲面上，而基于标准GP的ODE求解器则出现了偏离。
• 通过共享的 $ \bar{a} $ 项，实现了不同约束曲面之间的知识迁移，使动力学知识可在不同配置间传递。