[论文解读] Learning Feynman Diagrams with Tensor Trains

Y. Núñez-Fernández, Matthieu Jeannin+5 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2022

Quantum, superfluid, helium dynamics被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种基于张量列车（tensor train）的方法，利用张量交叉插值（TCI）来计算量子多体系统中高阶费曼图展开，实现了前所未有的精度和速度。通过将所有图的和表示为压缩的张量列车，该方法能够高效计算实时非平衡情形下的高维振荡积分，其精度和收敛速度相比图解量子蒙特卡罗（diagrammatic Quantum Monte Carlo）提高了数个数量级（收敛率快于1/N²）。

ABSTRACT

We use tensor network techniques to obtain high order perturbative diagrammatic expansions for the quantum many-body problem at very high precision. The approach is based on a tensor train parsimonious representation of the sum of all Feynman diagrams, obtained in a controlled and accurate way with the tensor cross interpolation algorithm. It yields the full time evolution of physical quantities in the presence of any arbitrary time dependent interaction. Our benchmarks on the Anderson quantum impurity problem, within the real time non-equilibrium Schwinger-Keldysh formalism, demonstrate that this technique supersedes diagrammatic Quantum Monte Carlo by orders of magnitude in precision and speed, with convergence rates $1/N^2$ or faster, where N is the number of function evaluations. The method also works in parameter regimes characterized by strongly oscillatory integrals in high dimension, which suffer from a catastrophic sign problem in Quantum Monte-Carlo. Finally, we also present two exploratory studies showing that the technique generalizes to more complex situations: a double quantum dot and a single impurity embedded in a two dimensional lattice.

研究动机与目标

• 为了解决在实时非平衡量子系统中常见的高维振荡积分里，图解量子蒙特卡罗方法所面临的符号问题和收敛缓慢的问题。
• 开发一种确定性、高精度的替代方案，用于计算量子多体理论中的高阶微扰展开，替代随机采样方法。
• 在任意时变相互作用存在的情况下，利用简洁的张量网络表示，实现对时间依赖物理量的精确计算。
• 在强关联和振荡区域中证明该方法的有效性，这些区域是传统蒙特卡罗方法失效的区域。
• 将张量网络技术的应用范围从变分波函数近似扩展到场论中图求和的直接表示。

提出的方法

• 该方法使用张量交叉插值（TCI）构建所有费曼图之和的低秩张量列车（TT）表示，从而实现对高维积分的高效计算。
• TT格式将时间变量的n维积分分解为一系列一维积分，显著降低了计算复杂度。
• 该算法利用非相互作用格林函数的结构，预先计算并插值关键组件（如$\tilde{q}_n(\omega)$），这些组件可在不同时间点的计算中重复使用。
• 对于高维空间中快速振荡的积分，开发了一种专用求积规则，其基于渐近展开形式$T_\alpha(v) \approx \sum_{p,n} \left( a_{pn} \frac{\cos(4pv)}{v^n} + b_{pn} \frac{\sin(4pv)}{v^n} \right)$，适用于$v > v_{\text{cut}}$。
• 采用混合求积方案：在$[0, v_{\text{cut}}]$上使用标准高斯-勒让德求积，在$[v_{\text{cut}}, \infty)$的振荡尾部区域则使用基于选主元交叉插值的自定义节点求积，确保了稳定性和精度。
• 通过自适应求积和专门处理特殊函数（如$E_n(z)$）的库，计算主值积分和振荡积分，确保了数值鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用张量网络技术，特别是通过TCI实现的张量列车，以比图解量子蒙特卡罗更高的精度和更快的收敛速度来计算高阶费曼图展开？
• RQ2 在强振荡积分参数区域中，该方法的表现如何？这些区域中蒙特卡罗方法因符号问题而失效。
• RQ3 张量列车表示能否有效捕捉实时非平衡量子多体问题中出现的高维、多尺度积分的结构？
• RQ4 该方法在多大程度上可推广至更复杂的系统，如双量子点或二维晶格中的单个杂质？
• RQ5 该方法在函数求值次数方面的收敛行为如何？是否实现了快于$1/\sqrt{N}$的收敛速度？

主要发现

• 该方法实现了$1/N^2$或更快的收敛速度，其中$N$为函数求值次数，显著优于图解量子蒙特卡罗的$1/\sqrt{N}$收敛速度。
• 该方法成功计算了强振荡积分下的物理量——这些区域中图解蒙特卡罗因符号问题而失效。
• 在实时施温格-凯尔迪什形式下的安德森量子点模型基准测试中，该方法在精度和速度上均比图解量子蒙特卡罗高出数个数量级。
• 张量列车表示支持对中间函数（如$\tilde{q}_n(\omega)$）的预计算，从而可通过单个一维积分高效计算任意时间$t$下的完整时间演化$Q_n(t)$。
• 在二维晶格情况下，该方法采用基于$T_\alpha(v)$渐近展开的自定义求积规则，在仅使用78个求积节点的情况下实现了2–3位有效数字的精度。
• 使用选主元交叉插值进行节点选择，确保了即使在高度振荡且缓慢衰减的函数中，求积规则也具有数值稳定性。