[论文解读] Learning interaction kernels in mean-field equations of 1st-order systems of interacting particles

Quanjun Lang, Fei Lu|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2020

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文提出了一种非参数化、可扩展的算法，用于从离散时空观测数据中学习一阶相互作用粒子系统平均场方程中的相互作用核函数。通过在数据自适应的假设空间上使用带正则化的最小二乘法，并结合从概率推导出的误差泛函，该方法实现了与数值积分器阶数相匹配的最优收敛速率，在意见动力学、粒状介质和聚集-扩散模型中均得到验证。

ABSTRACT

We introduce a nonparametric algorithm to learn interaction kernels of mean-field equations for 1st-order systems of interacting particles. The data consist of discrete space-time observations of the solution. By least squares with regularization, the algorithm learns the kernel on data-adaptive hypothesis spaces efficiently. A key ingredient is a probabilistic error functional derived from the likelihood of the mean-field equation's diffusion process. The estimator converges, in a reproducing kernel Hilbert space and an L2 space under an identifiability condition, at a rate optimal in the sense that it equals the numerical integrator's order. We demonstrate our algorithm on three typical examples: the opinion dynamics with a piecewise linear kernel, the granular media model with a quadratic kernel, and the aggregation-diffusion with a repulsive-attractive kernel.

研究动机与目标

• 解决仅能获得宏观解数据（密度）时，平均场方程中相互作用核函数估计的逆问题。
• 开发一种可扩展的非参数学习算法，避免对核函数形式施加参数化假设。
• 在最小正则性和可识别性条件下，确保理论收敛性并提供性能保证。
• 从福克-普朗克方程的扩散过程中推导出概率误差泛函，以实现鲁棒的无导数估计。

提出的方法

• 该方法在数据自适应的假设空间上使用带有Tikhonov型正则化的最小二乘估计器来学习相互作用核函数。
• 关键创新在于利用从平均场方程扩散过程的似然性推导出的概率误差泛函，该泛函为二次型，且无需依赖空间导数。
• 算法通过黎曼和近似从离散时空观测数据中计算误差泛函，从而实现高效计算。
• 假设空间通过适应数据的基函数构建，最优维度通过近似误差与推理误差之间的权衡来选择。
• 收敛性在再生核希尔伯特空间和加权L²空间中进行分析，收敛速率与数值积分器的阶数一致。
• 该方法通过算法1实现，通过求解正则化法方程来计算核估计器。

实验结果

研究问题

• RQ1 非参数学习算法能否从解密度的稀疏离散时空观测中估计平均场方程中的相互作用核函数？
• RQ2 核估计器的最优收敛速率是多少？能否与用于计算误差泛函的数值积分器阶数相匹配？
• RQ3 如何从福克-普朗克方程中推导出概率误差泛函，以实现鲁棒的无导数估计？
• RQ4 近似误差（由于假设空间有限）与推理误差（由于离散化）之间的权衡是什么？
• RQ5 该方法能否应用于具有不同类型核函数的多样化物理和社会系统，如分段线性、二次或排斥-吸引核函数？

主要发现

• 在可识别性和正则性条件下，估计器在再生核希尔伯特空间和加权L²空间中的收敛速率为O(Δx + Δt)，与黎曼和积分器的阶数一致。
• 对于最优假设空间维度，总误差被限制在O((Δx)^{αs/(s+1)})以内，其中α为积分器阶数，s ≥ 1控制近似误差的衰减速率。
• 该方法在最优收敛意义下成立，即除非提高积分器阶数，否则无法进一步提升收敛速率。
• 数值实验验证了该方法在三个基准模型中的有效性：具有分段线性核函数的意见动力学模型、具有二次核函数的粒状介质模型，以及具有排斥-吸引核函数的聚集-扩散模型。
• 该算法对噪声或稀疏数据具有鲁棒性，且无需粒子轨迹信息，仅需宏观密度观测数据。
• 推导出数值积分误差的理论界，并表明其与网格尺寸呈线性关系，支持收敛性分析。