[论文解读] Learning the solution operator of two-dimensional incompressible Navier-Stokes equations using physics-aware convolutional neural networks

Viktor Grimm, Alexander Heinlein+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2023

Model Reduction and Neural NetworksPhysics and Astronomy被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种物理感知卷积神经网络（CNN），可在无需标注数据或几何参数化的情况下，学习任意非规则几何形状下二维稳态不可压缩纳维-斯托克斯方程的解算子。通过将类似U-Net的CNN与有限差分离散化相结合，并利用物理感知损失函数强制施加物理定律，该模型在推理速度上相比传统CFD模拟最高可提升60万倍，同时在未见过的几何形状（如圆形和花瓣形障碍物）上表现出优异的泛化能力。

ABSTRACT

In recent years, the concept of introducing physics to machine learning has become widely popular. Most physics-inclusive ML-techniques however are still limited to a single geometry or a set of parametrizable geometries. Thus, there remains the need to train a new model for a new geometry, even if it is only slightly modified. With this work we introduce a technique with which it is possible to learn approximate solutions to the steady-state Navier--Stokes equations in varying geometries without the need of parametrization. This technique is based on a combination of a U-Net-like CNN and well established discretization methods from the field of the finite difference method.The results of our physics-aware CNN are compared to a state-of-the-art data-based approach. Additionally, it is also shown how our approach performs when combined with the data-based approach.

研究动机与目标

• 开发一种用于二维不可压缩纳维-斯托克斯方程的代理模型，可在无需参数化或标注数据的情况下，泛化至多样且非规则的几何形状。
• 克服现有物理信息机器学习方法的局限性，这些方法通常受限于特定几何形状，或需为每个新配置单独训练数据。
• 通过单一训练好的CNN，实现在多个未见过的几何形状（包括曲面和非矩形障碍物）上快速准确地预测流场和压力场。
• 证明基于物理感知损失函数的方法在泛化能力和预测精度上优于纯数据驱动方法，尤其在低速流动情况下表现更优。

提出的方法

• 模型采用类似U-Net的卷积神经网络架构，从输入的几何图像和边界条件预测速度场和压力场。
• 构建基于有限差分近似纳维-斯托克斯方程的物理感知损失函数，直接在训练目标中施加PDE残差。
• 在结构化网格上使用有限差分法对纳维-斯托克斯方程进行离散化，CNN在每个网格点上预测解系数。
• 模型通过仅使用几何图像和边界条件进行端到端训练，损失函数无需参考解。
• 该方法避免了坐标变换或域映射，可直接应用于任意非参数化几何形状。
• 训练过程将物理约束整合到损失函数中，确保预测结果在每个训练步骤均满足不可压缩性和动量方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个单一的物理感知CNN是否能在无标注数据的情况下，泛化至未见过的非规则几何形状，用于求解二维不可压缩纳维-斯托克斯方程？
• RQ2 基于有限差分离散化的物理感知损失函数，在准确性和泛化能力方面与纯数据驱动方法相比如何？
• RQ3 在多样化星形障碍物上训练的CNN，能在多大程度上预测具有连续曲率的几何形状（如圆形或椭圆形）的流场？
• RQ4 与传统CFD模拟相比，所提出的代理模型在计算速度上提升了多少？

主要发现

• 该物理感知CNN在推理速度上相比传统CFD模拟最高可提升60万倍，单个几何形状的评估时间约为6毫秒。
• 模型在未见过的几何形状上泛化良好，包括圆形障碍物和五瓣花形状，预测结果平滑，边界附近仅有局部误差。
• 在低速流动情况下，物理感知方法在泛化能力上优于纯数据驱动基线模型，而后者在未见几何形状上表现困难。
• 即使采用较粗的有限差分分辨率，模型在大多数几何形状上的预测结果仍接近参考解，且在泛化能力上优于纯数据驱动和纯物理信息基线模型。
• 当物理感知模型未能匹配参考解时，更高分辨率的有限体积方法同样未能收敛，表明此类流动区域存在固有的数值挑战。