[论文解读] Lecture Notes on Quantum Brownian Motion

Laszlo Erdýos|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 42被引用 12

一句话总结

本文通过建立带有随机势的薛定谔方程的线性玻尔兹曼方程作为标度极限，严格证明了从量子力学中涌现出扩散现象，并进一步表明在更长的时间尺度下，该玻尔兹曼动力学通过量子中心极限定理的类比收敛到扩散方程。该工作为布朗运动中的量子-经典过渡提供了数学工具。

ABSTRACT

Einstein's kinetic theory of the Brownian motion, based upon light water molecules continuously bombarding a heavy pollen, provided an explanation of diffusion from the Newtonian mechanics. Since the discovery of quantum mechanics it has been a challenge to verify the emergence of diffusion from the Schrodinger equation. The first step in this program is to verify the linear Boltzmann equation as a certain scaling limit of a Schrodinger equation with random potential. In the second step, one considers a longer time scale that corresponds to infinitely many Boltzmann collisions. The intuition is that the Boltzmann equation then converges to a diffusive equation similarly to the central limit theorem for Markov processes with sufficient mixing. In these lecture notes (prepared for the Les Houches summer school in 2010 August) we present the mathematical tools to rigorously justify this intuition. The new material relies on joint papers with H.-T. Yau and M. Salmhofer.

研究动机与目标

• 建立从带有随机势的薛定谔方程推导线性玻尔兹曼方程的严格数学框架。
• 解决长期存在的挑战：利用量子统计力学从量子动力学推导经典扩散。
• 将玻尔兹曼动力学扩展到更长的时间尺度，使其收敛到扩散方程，类似于马尔可夫过程的中心极限定理。
• 基于与H.-T. Yau和M. Salmhofer的联合工作，为布朗运动中的量子-经典过渡提供严格的数学依据。
• 提供研究具有随机相互作用的量子系统标度极限所必需的分析工具。

提出的方法

• 利用带有时间与空间依赖的随机势的薛定谔方程的标度极限，推导出线性玻尔兹曼方程。
• 应用量子场论与随机分析的技术，控制弱耦合和长时间下波函数的行为。
• 采用累积量展开与集团展开方法，分析随机势中的散射过程。
• 依赖具有足够混合性的马尔可夫过程理论，以证明玻尔兹曼方程向扩散极限的收敛性。
• 结合统计力学与偏微分方程的方法，处理量子系统在长时间与大尺度下的行为。
• 建立量子环境中中心极限定理类比的有效性，将多体散射与扩散输运联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 线性玻尔兹曼方程能否作为带有随机势的薛定谔方程的标度极限被严格推导出来？
• RQ2 在更长的时间尺度下，玻尔兹曼方程是否在量子领域收敛到扩散方程？
• RQ3 需要哪些数学工具来严格证明布朗运动中量子-经典过渡的合理性？
• RQ4 马尔可夫过程的中心极限定理如何推广到具有随机相互作用的量子系统？
• RQ5 随机势的结构在何种程度上促进了从幺正量子演化中涌现出扩散？

主要发现

• 线性玻尔兹曼方程作为带有合适随机势的薛定谔方程的标度极限出现，确认了量子推导扩散过程中的关键一步。
• 在长时间尺度下，玻尔兹曼动力学收敛到扩散方程，类似于混合马尔可夫过程的中心极限定理。
• 通过在量子散射背景下对累积量与集团展开的严格分析，建立了该收敛性。
• 所发展的数学框架使得能够控制具有随机相互作用的无序系统中的量子输运。
• 该结果为在随机环境中，从幺正量子演化中涌现出经典扩散提供了严格的理论基础。
• 该工作证实了布朗运动源于重复量子碰撞的直观图像，现通过标度极限在数学上得到严格证明。