[论文解读] Lectures on canonical and crystal bases of Hall algebras

Olivier Schiffmann|ArXiv.org|Oct 23, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 63被引用 20

一句话总结

本文通过用构造性层替代模空间上的函数，利用 perverse 层和 Faisceaux-Fonctions 对应关系，对 Hall 代数进行了几何范畴化。它在三角范畴中实现了 Hall 代数的复合子代数的几何提升，通过 Nakajima quiver 变体中拉格朗日子簇的不可约分支实现了典范基。

ABSTRACT

These are the notes for a series of lectures given on the theory of canonical and crystal bases for Hall algebras (for a summer school in Grenoble in 2008). It may be viewed as a follow-up to arXiv:math/0611617. It covers the construction, due to Lusztig, of the canonical bases for the Hall algebra of a quiver Q in terms of a certain category of perverse sheaves over the moduli space of representations of Q. It also contains an exposition of Kashiwara and Saito's geometric construction of the crystal graph in terms of irreducible components of Lusztig's lagrangian in the cotangent bundle to the above moduli spaces. The last section deals with the Hall algebras of curves. It contains a few new results and conjectures. Apart from these, the text is purely expositional.

研究动机与目标

• 通过表示模堆栈上的构造性层，提供 Hall 代数的几何实现。
• 通过构造一个在几何运算下封闭的层的三角范畴，对 Hall 代数的复合子代数进行范畴化。
• 通过拉格朗日子簇的不可约分支，将所得的几何范畴与量子群中的典范基联系起来。
• 通过 Nakajima quiver 变体，建立几何表示论与量子群表示理论之间的联系。
• 通过 K-理论和同调，探索 quiver 变体在实现可积模和量子群作用中的角色。

提出的方法

• 将 Hall 范畴 $\mathcal{Q}_{\vec{Q}}$ 定义为 $D^b(\underline{\mathcal{M}}_{\vec{Q}})$ 中源自几何的半单复形的最小三角子范畴，且在几何乘法和余乘法函子下封闭。
• 利用参数化扩张的对应堆栈 $\underline{\mathcal{E}}^{\alpha,\beta}$ 构造几何乘法函子 $\underline{m} = p_{2!}p_1^*$ 和余乘法函子 $\underline{\Delta} = p_{1!}p_2^*$。
• 使用分解定理确保 $\underline{m}$ 保持半单性，从而保证范畴 $\mathcal{Q}_{\vec{Q}}$ 的良好行为。
• 应用 Faisceaux-Fonctions 对应关系，将层的迹与原始 Hall 代数 $\mathbf{H}_{\vec{Q}}$ 中的函数联系起来，建立几何与代数结构之间的桥梁。
• 通过 Nakajima quiver 变体 $\mathfrak{M}_{\mathbf{v},\mathbf{w}}$ 中的拉格朗日子簇 $\mathfrak{L}_{\mathbf{w}}$ 的不可约分支实现典范基。
• 利用 Nakajima 的构造，在等变 K-理论和同调上实现量子群作用，将几何与表示理论联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过层论构造对 quiver 的代数 Hall 代数进行几何范畴化？
• RQ2 Faisceaux-Fonctions 对应关系在连接几何与代数 Hall 代数中起什么作用？
• RQ3 Nakajima quiver 变体中拉格朗日子簇的不可约分支如何实现量子群的典范基？
• RQ4 Nakajima quiver 变体以何种方式对量子群的可积最高权模进行范畴化？
• RQ5 层上的几何运算如何对应于 Hall 代数中的代数运算？

主要发现

• 几何 Hall 范畴 $\mathcal{Q}_{\vec{Q}}$ 被构造为在几何乘法和余乘法函子下封闭的半单复形的三角子范畴。
• 函子 $\underline{m} = p_{2!}p_1^*$ 和 $\underline{\Delta} = p_{1!}p_2^*$ 分别通过适当的和光滑的映射被证明是余结合和结合的。
• 分解定理确保几何乘法保持半单性，从而验证了 $\mathcal{Q}_{\vec{Q}}$ 的构造。
• 在 Faisceaux-Fonctions 对应关系下，层的迹可恢复原始 Hall 代数 $\mathbf{H}_{\vec{Q}}$ 中的相应函数，建立起几何与代数结构之间的桥梁。
• Nakajima quiver 变体 $\mathfrak{M}_{\mathbf{v},\mathbf{w}}$ 中拉格朗日子簇 $\mathfrak{L}_{\mathbf{w}}$ 的不可约分支构成上同调群 $H^{top}(\mathfrak{L}_{\mathbf{w}})$ 的基，其与半典范基的投影在猜想中一致。
• Nakajima 将经典可积最高权模 $L_{\Lambda_{\mathbf{w}}}$ 实现为 $H^{top}(\mathfrak{L}_{\mathbf{w}})$，并通过对偶和 Hecke 对应关系实现量子群作用。