[论文解读] Lectures on Linear Algebra over Division Ring

Aleks Kleyn|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文通过推广向量空间、线性方程组和张量积等概念，同时考虑非交换性，发展了除环上的线性代数。它引入了对偶表示、拟行列式以及矩阵上的双环结构，建立了左结构与右结构之间的对偶性，从而阐明了非交换几何中被动变换与主动变换之间的关系。

ABSTRACT

In this book i treat linear algebra over division ring. A system of linear equations over a division ring has properties similar to properties of a system of linear equations over a field. However, noncommutativity of a product creates a new picture. Matrices allow two products linked by transpose. Biring is algebra which defines on the set two correlated structures of the ring. As in the commutative case, solutions of a system of linear equations build up right or left vector space depending on type of system. We study vector spaces together with the system of linear equations because their properties have a close relationship. As in a commutative case, the group of automorphisms of a vector space has a single transitive representation on a frame manifold. This gives us an opportunity to introduce passive and active representations. Studying a vector space over a division ring uncovers new details in the relationship between passive and active transformations, makes this picture clearer. Considering of twin representations of division ring in Abelian group leads to the concept of D vector space and their linear map. Based on polyadditive map I considered definition of tensor product of rings and tensor product of D vector spaces.

研究动机与目标

• 将线性代数概念——如向量空间、基和线性方程组——从域推广到除环，其中非交换性引入了新的结构复杂性。
• 通过引入拟行列式和矩阵上的双环结构，解决非交换设定下克莱默法则失效的问题。
• 通过双表示统一左和右向量空间结构，并建立对偶性原理，阐明被动变换与主动变换之间的关系。
• 使用多重线性映射和普遍性质，定义除环D-向量空间和环的张量积，将经典构造扩展到非交换代数。
• 为非交换线性代数提供一个几何和表示论框架，其基础是除环及其模上的作用结构。

提出的方法

• 使用矩阵上的双环结构来建模双侧乘积（左和右），从而实现行运算与列运算之间的对偶性。
• 引入拟行列式作为行列式的非交换类比，通过转置关联的两种不同乘积定义，推广克莱默法则。
• 应用自由模的普遍性质和商构造，定义基域F上D-向量空间的张量积。
• 在基域F上使用多重线性映射，通过因子模M/N构造张量积，其中N编码双线性关系。
• 通过除环D在阿贝尔群上的双表示定义D-向量空间，从而实现一致的左模和右模结构。
• 通过包含典范投影j: M → M/N和普遍同态h: M/N → V的交换图，证明张量积的普遍性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非交换性导致克莱默法则失效的背景下，如何将线性方程组理论从域推广到除环？
• RQ2 拟行列式在求解非交换除环上的线性方程组中起什么作用？
• RQ3 除环在阿贝尔群上的双表示如何导致D-向量空间及其线性映射的一致定义？
• RQ4 矩阵上的双环结构在非交换线性代数中如何推广矩阵乘法和转置对偶性？
• RQ5 如何使用基域上的多重线性映射和普遍性质构造D-向量空间的张量积？

主要发现

• D-向量空间V₁ ⊗ ... ⊗ Vₙ的张量积被构造为M/N，其中M是F × D上由V₁ × ... × Vₙ生成的自由模，N是由双线性关系生成的子模。
• 由f(v₁, ..., vₙ) = v₁ ⊗ ... ⊗ vₙ定义的映射f: V₁ × ... × Vₙ → M/N满足F上多重线性映射的普遍性质。
• 张量积V₁ ⊗ ... ⊗ Vₙ是D₁ ⊗ ... ⊗ Dₙ上的双模，推广了交换代数中张量积的双模结构。
• 典范投影j: M → M/N确保f的像生成M/N，且同态h: M/N → V由多重线性映射g唯一确定。
• 该构造证明了v₁ ⊗ ... ⊗ (vᵢ + wᵢ) ⊗ ... ⊗ vₙ = v₁ ⊗ ... ⊗ vᵢ ⊗ ... ⊗ vₙ + v₁ ⊗ ... ⊗ wᵢ ⊗ ... ⊗ vₙ以及v₁ ⊗ ... ⊗ (a vᵢ) ⊗ ... ⊗ vₙ = a (v₁ ⊗ ... ⊗ vᵢ ⊗ ... ⊗ vₙ)，从而确认张量积的双线性性质。
• 通过包含i, j, k, h的交换图证明了张量积的普遍性质，表明任意多重线性映射g可唯一地通过h分解。