[论文解读] Lectures on special Lagrangian geometry

Dominic Joyce|ArXiv.org|Nov 9, 2001

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 34被引用 39

一句话总结

本文對卡拉比–丘流形中的特殊拉格朗日子流形幾何提供了全面介紹，專注於透過實蒙日–安培型方程的解，構造 ℂ^m 中的特殊拉格朗日子流形。研究證明在 ℂ^3 中可構造具有同構於 T²-錐的奇異纖維之特殊拉格朗日子纖維，並顯示這些奇異性是穩定的，且為一般近似卡拉比–丘 3-流形中 codimension-one 奇異性的模型，為 SYZ 猜想提供了局部模型。

ABSTRACT

We introduce special Lagrangian submanifolds in C^m and in (almost) Calabi-Yau manifolds, and survey recent results on singularities of special Lagrangian submanifolds, and their application to the SYZ Conjecture. The paper is aimed at graduate students in Geometry, String Theorists, and others wishing to learn the subject. Special Lagrangian m-folds in C^m are defined, and ways of constructing them described. 'Almost Calabi-Yau manifolds' (a generalization of Calabi-Yau manifolds useful in special Lagrangian geometry) are introduced, and the deformation theory, obstruction theory, and moduli spaces of compact special Lagrangian m-folds in (almost) Calabi-Yau m-folds are explained. Then we consider singular special Lagrangian submanifolds which are locally modelled on special Lagrangian cones with an isolated singularity at 0. Compact singular special Lagrangian submanifolds of this type have a well-behaved deformation theory, and can often be realized as limits of families of compact, nonsingular special Lagrangian submanifolds. Applications of this to the SYZ Conjecture and Mirror Symmetry of Calabi-Yau 3-folds are discussed.

研究动机与目标

• 提供 ℂ^m 和卡拉比–丘流形中特殊拉格朗日子流形的基礎介紹。
• 利用上同調方法分析緊緻特殊拉格朗日子流形的變形理論與模空間。
• 研究緊緻特殊拉格朗日子流形中孤立的錐形奇異性及其在微擾下的穩定性。
• 透過實蒙日–安培方程的解，構造 ℂ^3 中非緊緻特殊拉格朗日子 3-流形的顯式族。
• 提出特殊拉格朗日子纖維中的 T²-錐奇異纖維可作為一般近似卡拉比–丘 3-流形中 codimension-one 奇異性的模型，支持 SYZ 猜想。

提出的方法

• 定義特殊拉格朗日子流形為相對於 Re(Ω′) 的校準子流形，使用校準條件 φ|_V ≤ vol_V。
• 利用 SU(m) 對稱性，將 ℂ^m 中校準 m-平面的族分類為 SU(m)/SO(m)。
• 透過在區域 S 上求解調和函數 f_α 的實蒙日–安培型方程，構造 ℂ^3 中的特殊拉格朗日子 3-流形。
• 定義纖維化 F: V → U ⊂ ℝ³ × ℂ，使得纖維 N_α 為特殊拉格朗日子 3-流形，奇異纖維發生於 a = 0 時。
• 分析奇異纖維的拓撲與穩定性，顯示 T²-錐奇異性是穩定且橫截的。
• 應用指標理論與模空間理論，證明此類奇異性在特殊拉格朗日子 3-流形的模空間中具有 codimension 一。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何透過實蒙日–安培方程的解，系統性地構造 ℂ^m 中的特殊拉格朗日子流形？
• RQ2 緊緻特殊拉格朗日子流形的模空間結構為何？其與第一貝蒂數 b¹(N) 的關係為何？
• RQ3 緊緻特殊拉格朗日子流形中可能出現何種類型的孤立錐形奇異性？它們在小變形下是否穩定？
• RQ4 能否構造在 ℂ^3 中具有奇異纖維的特殊拉格朗日子纖維，使其作為卡拉比–丘 3-流形中 SYZ 猜想奇異纖維的模型？
• RQ5 奇異特殊拉格朗日子纖維在所有特殊拉格朗日子纖維模空間中的 codimension 為何？其與奇異性指標的關係為何？

主要发现

• ℂ^m 中校準 m-平面的族微分同構於 SU(m)/SO(m)，為特殊拉格朗日子結構提供了齊性模型。
• 實蒙日–安培方程的解可產生 ℂ^3 中的非緊緻特殊拉格朗日子 3-流形 N_α，當 a ≠ 0 時為非奇異，當 a = 0 時為奇異（T²-錐）。
• 纖維化 F: V → U 的纖維 N_α 是兩兩不相交的，且在 ℝ³ × ℂ 的開集上形成連續且滿射的纖維化。
• 纖維化 F 為分段光滑，其原因在於當 a 經過零點時 S¹ 分量發生拓撲轉換（德恩轉換），而不僅僅是奇異性本身所致。
• T²-錐奇異纖維是穩定且橫截的，其模空間在全部特殊拉格朗日子 3-流形模空間中具有 codimension 一。
• 當特殊拉格朗日子 3-流形的拓撲適當地選擇時，此類奇異性的指標為 1，確認其在一般近似卡拉比–丘 3-流形中作為典型 codimension-one 奇異性的角色。