[论文解读] Lee-Yang measures and wave functions

Dimitar K. Dimitrov|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文利用正交多项式的朗斯基行列式，建立了博雷尔测度成为李-杨测度（即其傅里叶变换仅具有实零点）的必要且充分条件。关键贡献在于将正交多项式的谱性质与傅里叶变换的零点分布联系起来，其影响涵盖量子力学、统计物理以及黎曼猜想。

ABSTRACT

We establish necessary and sufficient conditions for a Borel measure to be a Lee-Yang one which means that its Fourier transform possesses only real zeros. Equivalently, we answer a question of Pólya who asked for a characterisation of those positive positive, even and sufficiently fast decaying kernels whose Fourier transforms have only real zeros. The characterisation is given in terms of Wronskians of polynomials that are orthogonal with respect to the measure. The results show that Fourier transforms of a rather general class of measures can be approximated by symmetrized Slater determinants composed by orthogonal polynomials, that is, by some wave functions which are symmetric like the Boson ones. Brief comments on possible interpretation and applications of the main results in quantum and statistical mechanics, to Toda lattices and the general solution of the heat equation, are given. We discuss briefly the possibility of represent the Riemann $ξ$ function as a partition function of a statistical mechanics system.

研究动机与目标

• 提供傅里叶变换仅具有实零点的博雷尔测度的完整表征，此类测度被称为李-杨测度。
• 解决波利亚长期提出的难题：确定正的、偶函数的、快速衰减的核在何种条件下其傅里叶变换仅具有实零点。
• 将正交多项式的谱理论与统计力学中傅里叶变换及配分函数的零点分布联系起来。
• 探讨黎曼ξ函数是否可被解释为统计力学系统中的配分函数。
• 证明一大类测度的傅里叶变换可被由正交多项式构建的对称化斯莱特行列式逼近，其形式类似于玻色子波函数。

提出的方法

• 以正交多项式的朗斯基行列式为核心分析工具，用于表征李-杨测度。
• 应用拉普拉斯与傅里叶变换形式化方法，将变换的零点集与测度论性质联系起来。
• 通过正交多项式的朗斯基行列式构造傅里叶变换的逼近，灵感源自量子力学中的斯莱特行列式。
• 利用托达晶格框架，将时变正交多项式与热方程及矩生成函数联系起来。
• 运用拉克斯对形式化与雅可比矩阵的谱理论，推导时变设定下正交多项式的递推关系。
• 通过将黎曼ξ函数与θ函数及量子场论模型关联，将其解释为潜在的配分函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 博雷尔测度成为李-杨测度（即其傅里叶变换仅具有实零点）的必要且充分条件是什么？
• RQ2 如何利用正交多项式的朗斯基行列式逼近测度的傅里叶变换？
• RQ3 黎曼ξ函数能否被解释为统计力学系统的配分函数？在何种条件下可能实现？
• RQ4 正交多项式的谱性质与量子及统计模型中傅里叶变换的零点分布之间有何联系？
• RQ5 由正交多项式构建的对称化斯莱特行列式与玻色子波函数及热方程通解有何关系？

主要发现

• 当且仅当其正交多项式的某些朗斯基行列式满足特定正定性条件时，博雷尔测度才是李-杨测度。
• 该类测度中任意测度的傅里叶变换可被由正交多项式构建的对称化斯莱特行列式逼近，其形式类似于玻色子波函数。
• 利用正交多项式的朗斯基行列式可逼近热方程的通解，从而为矩生成函数提供一种构造性方法。
• 托达晶格的时间演化通过时变测度与正交多项式相关联，且矩生成函数可从朗斯基行列式逼近中恢复。
• 黎曼ξ函数可被解释为一个量子统计模型中的候选配分函数，其依据是其与雅可比θ函数及量子力学解的关系。
• 伊辛模型的李-杨定理可推广至一大类满足可积性及右半平面内拉普拉斯变换非零条件的偶函数、快速衰减测度。