[论文解读] Lengthening and Extending Binary Private Information Retrieval Codes

Hsuan-Yin Lin, Eirik Rosnes|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2017

Cryptography and Data Security参考文献 7被引用 9

一句话总结

本文提出一种新颖方法，通过在现有码的基础上增加一个信息符号并最多延长 ⌊t/2⌋ 个符号，构建高效的 t-服务器私有信息检索（PIR）码。该方法可导出新 PIR 码，显著降低码长，对 t=5 且 k≤6 的情况实现可证明最优，对 k=7 至 32 的情况优于已知码。该构造与斯坦纳系统相关联，数值结果证实其有效性，尤其在 t=5 和 t=8 时表现突出。

ABSTRACT

It was recently shown by Fazeli et al. that the storage overhead of a traditional $t$-server private information retrieval (PIR) protocol can be significantly reduced using the concept of a $t$-server PIR code. In this work, we show that a family of $t$-server PIR codes (with increasing dimensions and blocklengths) can be constructed from an existing $t$-server PIR code through lengthening by a single information symbol and code extension by at most $\bigl\lceil t/2\bigr ceil$ code symbols. Furthermore, by extending a code construction notion from Steiner systems by Fazeli et al., we obtain a specific family of $t$-server PIR codes. Based on a code construction technique that lengthens and extends a $t$-server PIR code simultaneously, a basic algorithm to find good (i.e., small blocklength) $t$-server PIR codes is proposed. For the special case of $t=5$, we find provably optimal PIR codes for code dimensions $k\leq 6$, while for all $7\leq k\leq 32$ we find codes of smaller blocklength than the best known codes from the literature. Furthermore, in the case of $t = 8$, we also find better codes for $k = 5, 6, 11, 12$. Numerical results show that most of the best found $5$-server PIR codes can be constructed from the proposed family of codes connected to Steiner systems.

研究动机与目标

• 通过为给定维度 k 构造更短码长的 PIR 码，减少 t-服务器 PIR 协议中的存储开销。
• 开发一种系统化方法，通过延长和扩展，从已有码生成新的 t-服务器 PIR 码。
• 识别并表征由斯坦纳系统导出的满足 t-PIR 性质的 PIR 码家族。
• 改进 t=5 和 t=8 时的最佳已知 PIR 码码长，尤其在较高维度 k 下。
• 提供一种基于所提延长和扩展技术的构造性算法，用于寻找具有小码长的 t-服务器 PIR 码。

提出的方法

• 通过增加一个信息符号，将现有 [n,k;t] PIR 码延长，使维度增至 k+1。
• 通过最多 ⌊t/2⌋ 个符号延长所得码，以保持 t-PIR 性质，采用修改后的生成矩阵的系统化构造。
• 为每个信息符号 ui 定义新的恢复集 ˜R(i)h，使得 t 个不相交子集可从码符号中重构 ui。
• 当 t 为偶数时，证明 NP(k+1,t) ≤ NP(k,t+1) + t/2；当 t 为奇数时，利用集合交集与汉明权重的性质，证明 NP(k+1,t) ≤ NP(k,t) + ⌊t/2⌋。
• 利用基于斯坦纳系统的码构造方法，生成一组 t-服务器 PIR 码，尤其适用于 t=5。
• 使用包含全一列和权重为一的行的系统化码生成矩阵，延长码的同时保持 t-PIR 性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统化地延长和扩展 t-服务器 PIR 码，以生成码长更短的新码？
• RQ2 t-服务器 PIR 码可实现的最小码长 NP(k,t) 是多少，尤其在 t=5 和 t=8 时？
• RQ3 由斯坦纳系统导出的 PIR 码能否满足 t-PIR 性质，并实现最优或近似最优码长？
• RQ4 在哪些码维度 k 下，缩短的射影雷德-穆勒（SPRM）码对 t=8 不再是最优的？
• RQ5 基于延长和扩展的构造性算法能否为 k > 6 的情况生成优于现有文献的 PIR 码？

主要发现

• 对于 t=5 且 k≤6，所提方法构造出可证明最优的 PIR 码，达到码长的理论下界。
• 对于 t=5 且 k 从 7 到 32 的所有情况，所构造的码长均小于先前文献中已知的最佳码。
• 对于 t=8，该方法在 k=5、6、11 和 12 时生成的码优于现有方法，表明效率更高。
• 数值结果表明，对 k≤32 的大多数最优 5-服务器 PIR 码均可由基于斯坦纳系统的码族构造得出。
• 缩短的射影雷德-穆勒（SPRM）码在 t=8 时，当 k=5、6、11、12 时不再是最优的，这与先前认为其最优的假设相矛盾。
• 已证明奇数 t 的理论界 NP(k+1,t) ≤ NP(k,t) + ⌊t/2⌋，以及偶数 t 的 NP(k+1,t) ≤ NP(k,t+1) + t/2，为码的构造提供了理论基础。