[论文解读] Lens rigidity for manifolds with hyperbolic trapped set

Colin Guillarmou|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 56被引用 32

一句话总结

本文建立了具有双曲陷阱集且无共轭点的黎曼流形的形变透镜刚性，包括所有具有严格凸边界、非正曲率的流形——允许非平凡拓扑和陷阱测地线。在二维情形下，证明了散射数据在固定边界微分同胚下确定了共形结构，通过先进的微局部与动力系统技术，将刚性结果推广至非简单流形的设定。

ABSTRACT

For a Riemannian manifold $(M,g)$ with strictly convex boundary $\partial M$, the lens data consists in the set of lengths of geodesics $γ$ with endpoints on $\partial M$, together with their endpoints $(x_-,x_+)\in \partial M imes \partial M$ and tangent exit vectors $(v_-,v_+)\in T_{x_-} M imes T_{x_+} M$. We show deformation lens rigidity for a large class of manifolds which includes all manifolds with negative curvature and strictly convex boundary, possibly with non-trivial topology and trapped geodesics. For the same class of manifolds in dimension $2$, we prove that the set of endpoints and exit vectors of geodesics (ie. the scattering data) determines the topology and the conformal class of the surface.

研究动机与目标

• 解决具有双曲陷阱集且无共轭点的流形的形变透镜刚性问题，该类流形包括所有具有严格凸边界的负曲率流形。
• 将透镜与散射刚性结果推广至具有非平凡拓扑与陷阱测地线的流形，克服先前研究局限于简单或无陷阱流形的限制。
• 在二维情形下，证明散射数据在固定边界的微分同胚下确定了黎曼曲面的共形结构。
• 发展并应用来自双曲动力系统的新型微局部分析技术，以解决几何分析中的反问题。
• 通过引入陷阱与非平凡拓扑，将边界与透镜刚性结果推广至非简单流形的设定。

提出的方法

• 本文使用一维参数族度量，并通过测地流的微局部分析，证明透镜等价性蕴含边界上同伦于恒同映射的一族微分同胚。
• 引入散射变换与散射算子 $ S_g^* $ 的创新应用，将边界数据与球丛上输运方程的解联系起来。
• 该方法依赖于球丛上的傅里叶变换理论，以及编码水平导数偶部的算子 $ H_{\text{ev}} $ 的使用。
• 应用 $ I $-变换与 $ I_1 $-变换，将边界数据与边界上的 $ L^2 $-函数联系起来，利用有界性与椭圆性性质。
• 通过波前集分析与奇点传播，证明在散射等价性下，$ (M,g) $ 与 $ (M',g') $ 上全纯函数的边界值一致。
• 利用 Belishev 的工作，建立全纯延拓与散射数据之间的对应关系，从而在二维情形下得出共形微分同胚的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可在非简单流形类之外，对具有陷阱测地线与非平凡拓扑的负曲率流形建立透镜刚性？
• RQ2 在二维情形下，散射数据是否在固定边界的微分同胚下确定黎曼曲面的共形结构？
• RQ3 如何系统地应用微局部与动力系统技术，以解决具有陷阱的几何分析中的反问题？
• RQ4 当无共轭点但存在陷阱时，透镜数据在多大程度上可确定度量的等距类？
• RQ5 若两流形的散射数据一致，其全纯函数边界值之间是否存在对应关系？

主要发现

• 所有具有双曲陷阱集、无共轭点与严格凸边界的 $ n $-维黎曼流形的形变透镜刚性成立，包括所有负曲率流形。
• 在二维情形下，散射等价性意味着两黎曼曲面通过固定边界的微分同胚实现共形等价，并保持边界度量。
• 若散射数据一致，则 $ (M,g) $ 与 $ (M',g') $ 上全纯函数的边界值空间一致，结合 Belishev 的结果，可推出共形等价性。
• 证明依赖于 $ I_1 $-变换的有界性，以及波前集传播分析，以证明 $ I_1(*dI_0^*\rho + dq) = 0 $，从而导出共轭调和函数。
• 本文证明 $ (S_g^* - \text{id})H_{\text{ev}}\rho $ 属于 $ L^2 $，且等于 $ \frac{1}{2\tau} I_1(*d{\rm d}\rho) $，将边界数据与度量结构联系起来。
• 在二维情形下，若散射等价，则存在共形微分同胚 $ \theta: M \to M' $，使得 $ \theta^*g' = e^{2\theta}g $ 且 $ \theta|_{\text{bdry}} = \text{id} $，此结论已得证。