[论文解读] Leveraging Diversity and Sparsity in Blind Deconvolution

Ali Ahmed, Laurent Demanet|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 26被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种用于盲反卷积的凸优化框架，通过联合恢复稀疏脉冲响应 $\bm{w}$ 和多个输入信号 $\bm{x}_n$，从其循环卷积 $\bm{y}_n = \bm{w} * \bm{x}_n$ 中实现恢复。通过利用核范数最小化，并结合 $\bm{w}$ 的稀疏性与 $\bm{x}_n$ 在 $K$-维子空间中的多样性，当 $K + S\log^2 S \lesssim L / \log^4(LN)$ 且 $N \gtrsim \log^2(LN)$ 时，该方法实现了精确恢复，这是首个在不假设 $\bm{w}$ 固定子空间条件下的盲反卷积理论结果。

ABSTRACT

This paper considers recovering $L$-dimensional vectors $\boldsymbol{w}$, and $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2, \ldots, \boldsymbol{x}_N$ from their circular convolutions $\boldsymbol{y}_n = \boldsymbol{w}*\boldsymbol{x}_n, \ n = 1,2,3, \ldots, N$. The vector $\boldsymbol{w}$ is assumed to be $S$-sparse in a known basis that is spread out in the Fourier domain, and each input $\boldsymbol{x}_n$ is a member of a known $K$-dimensional random subspace. We prove that whenever $K + S\log^2S \lesssim L /\log^4(LN)$, the problem can be solved effectively by using only the nuclear-norm minimization as the convex relaxation, as long as the inputs are sufficiently diverse and obey $N \gtrsim \log^2(LN)$. By "diverse inputs", we mean that the $\boldsymbol{x}_n$'s belong to different, generic subspaces. To our knowledge, this is the first theoretical result on blind deconvolution where the subspace to which $\boldsymbol{w}$ belongs is not fixed, but needs to be determined. We discuss the result in the context of multipath channel estimation in wireless communications. Both the fading coefficients, and the delays in the channel impulse response $\boldsymbol{w}$ are unknown. The encoder codes the $K$-dimensional message vectors randomly and then transmits coded messages $\boldsymbol{x}_n$'s over a fixed channel one after the other. The decoder then discovers all of the messages and the channel response when the number of samples taken for each received message are roughly greater than $(K+S\log^2S)\log^4(LN)$, and the number of messages is roughly at least $\log^2(LN)$.

研究动机与目标

• 解决输入信号与脉冲响应均未知的盲系统辨识挑战。
• 通过允许 $\bm{w}$ 在已知基下稀疏化但不施加固定子空间约束，克服先前方法要求已知 $\bm{w}$ 子空间的局限性。
• 在较弱的结构假设下，仅通过核范数最小化作为凸松弛，实现 $\bm{w}$ 和 $\bm{x}_n$ 的精确恢复。
• 建立在高概率下可实现恢复的理论条件，即使仅假设 $\bm{w}$ 在已知基下为 $S$-稀疏。
• 提供一个可直接应用于实际问题（如无线通信中的多径信道估计）的实用框架。

提出的方法

• 将问题建模为通过核范数最小化恢复同时稀疏且秩为1的矩阵，以松弛联合稀疏性与低秩约束。
• 假设每个输入 $\bm{x}_n$ 位于一个已知的 $K$-维随机子空间中，通过基矩阵 $\bm{C}_n$ 参数化，从而实现结构化恢复。
• 在已知基 $\bm{B}$ 中强制 $\bm{w}$ 的稀疏性，其中 $\bm{w} = \bm{B}\bm{h}$ 且 $\|\bm{h}\|_0 \leq S$，并假设该基在傅里叶域中具有非相干性。
• 对由 $\bm{w}$ 和 $\bm{x}_n$ 构成的提升矩阵应用凸松弛，利用提升空间中的低秩结构。
• 通过假设 $\bm{x}_n$ 跨不同的一般子空间，建模随机输入多样性，从而确保系统辨识所需的充分激励。
• 利用随机矩阵理论与低秩矩阵恢复工具，建立高概率恢复结果，给出对测量数 $N$ 与子空间维数 $K$ 的边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在测量数 $N$、输入子空间维数 $K$ 与稀疏度 $S$ 满足何种条件时，可实现盲反卷积中 $\bm{w}$ 与 $\bm{x}_n$ 的精确恢复？
• RQ2 是否可在不假设 $\bm{w}$ 位于固定子空间的前提下，实现精确恢复，同时仍利用其稀疏性？
• RQ3 输入多样性（即输入属于不同的一般子空间）如何影响 $\bm{w}$ 与 $\bm{x}_n$ 的可辨识性？
• RQ4 当 $\bm{w}$ 为 $S$-稀疏且输入位于 $K$-维子空间时，成功恢复所需的最小测量数 $N$ 是多少？
• RQ5 在这些结构假设下，仅通过核范数最小化是否足以保证精确恢复，而无需额外正则化或约束？

主要发现

• 在输入具有多样性假设下，当 $K + S\log^2 S \lesssim L / \log^4(LN)$ 时，$\bm{w}$ 与 $\bm{x}_n$ 的精确恢复以高概率可实现。
• 为确保足够的多样性与系统可辨识性，测量数 $N$ 必须满足 $N \gtrsim \log^2(LN)$。
• 与先前工作不同，该方法不要求 $\bm{w}$ 位于已知子空间中，因此适用于仅知 $\bm{w}$ 在基下稀疏的场景。
• 仅通过核范数最小化即可保证恢复成功，无需额外的稀疏性促进约束，仅依赖于已知的 $\bm{w}$ 稀疏性。
• 该理论框架可直接应用于多径信道估计，其中 $\bm{w}$ 表示信道脉冲响应（衰落系数与时延），$\bm{x}_n$ 为编码信号。
• 数值结果与理论分析共同表明，该方法在样本复杂度上接近信息论极限，仅相差对数因子。