[论文解读] Lifting Theorems and Smooth Profinite Groups

Charles De Clercq, Mathieu Florence|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 8

一句话总结

本文通过使用除幂和庞特里亚金对偶性，引入了关于威特环上模的典范提升框架，建立了具有 $p$-主要系数的光滑概李群上同调的稳定提升定理。其主要贡献在于对映射 $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 的一般下降结果，为显式证明布洛赫-卡托猜想提供了基础工具。

ABSTRACT

This work is motivated by the search for an "explicit" proof of the Bloch-Kato conjecture in Galois cohomology, proved by Voevodsky. Our concern here is to lay the foundation for a theory that, we believe, will lead to such a proof- and to further applications. Let p be a prime number. Let k be a perfect field of characteristic p. Let m be a positive integer. Our first goal is to provide a canonical process for "lifting" a module M, over the ring of Witt vectors $W_m(k)$ (of length m), to a $W_{m+1}(k)$-module, in a way that deeply respects Pontryagin duality. These are our big, medium and small Omega powers, each of which naturally occurs as a direct factor of the previous one. In the case where M is a k-vector space, they come equipped with Verschiebung and Frobenius operations. If moreover the field k is finite, Omega powers are endowed with a striking extra operation: the Transfer, to shifted Omega powers of finite-codimensional linear subspaces. To show how this formalism fits into Galois theory, we first offer an axiomatized approach to Hilbert's Theorem 90 (or more precisely, to its consequence for cohomology with finite coefficients: Kummer theory). In the context of profinite group cohomology, we thus define the notions a cyclotomic G-module, and of a smooth profinite group. We bear in mind that the fundamental example is that of an absolute Galois group, together with the Tate module of roots of unity. We then define the notion of exact sequences of G-modules of Kummer type. To finish, we give applications of this formalism. The first ones are the Stable Lifting Theorems, enabling the lifting to higher torsion in the cohomology of smooth profinite groups, with p-primary coefficients. We finish by an application to p-adic deformations. We state and prove a general descent statement, for the quotient map $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} ightarrow\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

研究动机与目标

• 开发威特环 $\mathbf{W}_m(k)$ 上模到 $\mathbf{W}_{m+1}(k)$ 上模的典范提升过程，同时保持庞特里亚金对偶性。
• 定义并研究作为函子性构造的欧米茄幂（大、中、小），并研究其与弗罗贝尼乌斯和转移运算的关系。
• 在概李群上同调的背景下，对希尔伯特定理90进行公理化，引入分圆 $G$-模和光滑概李群。
• 建立具有 $p$-主要系数的伽罗瓦上同调的稳定提升定理，特别是在 $p$-进变形的背景下。
• 证明关于商映射 $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 的一般下降陈述，以新颖方式将提升与下降联系起来。

提出的方法

• 通过 $\mathbf{W}_m(k)$-模上的除幂，将大、中、小欧米茄幂构造为彼此的直因子。
• 当 $M$ 为 $k$-向量空间时，为这些欧米茄幂赋予弗罗贝尼乌斯和转移运算。
• 当 $k$ 有限时，为有限余维子空间引入欧米茄幂上的转移运算。
• 应用庞特里亚金对偶性，以确保欧米茄幂与其对偶之间存在典范对偶性。
• 通过受伽罗瓦上同调启发的公理，定义分圆 $G$-模和光滑概李群。
• 证明关于映射 $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 的下降结果（命题 17.9），表明当且仅当 $\gamma_p$ 保持弗罗贝尼乌斯的核时，$2$-平坦环才可提升弗罗贝尼乌斯。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持庞特里亚金对偶性的前提下，典范地将 $\mathbf{W}_m(k)$-模提升为 $\mathbf{W}_{m+1}(k)$-模？
• RQ2 除幂和欧米茄幂在构造具有 $p$-主要系数的上同调的稳定提升定理中起什么作用？
• RQ3 在 $k$-向量空间的背景下，弗罗贝尼乌斯和转移运算如何与欧米茄幂构造相互作用？
• RQ4 转移运算在何种意义上是有限域上欧米茄幂对偶结构的自然精化？
• RQ5 是否可以为映射 $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 制定一个一般下降陈述？它与 $p$-进变形有何关系？

主要发现

• 稳定提升定理（定理 16.2 和 16.3）提供了一种机制，用于在光滑概李群中提升具有 $p$-主要系数的上同调类。
• 推论 16.4 将第二个稳定提升定理转化为关于取值于二维伽罗瓦表示的伽罗瓦上同调的明确陈述。
• 命题 17.9 建立了关于映射 $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 的下降结果，表明 $2$-平坦环当且仅当 $2$-褶皱环具有相容的弗罗贝尼乌斯提升时成立。
• 命题 17.11 中的等价性表明，$A$ 上存在弗罗贝尼乌斯提升当且仅当 $\gamma_p$ 将 $\mathrm{Ker}(\mathrm{Frob}_A)$ 映入其自身。
• $I = \mathrm{Ker}(\mathrm{Frob}_A)$ 上存在 $PD$-理想结构，当且仅当 $\gamma_p$ 保持 $I$，且该结构由 $\gamma_p$ 唯一确定。
• 当 $I = I^2$ 时，条件 $\gamma_p(I) \subset I$ 暗示 $\gamma_p = 0$，从而强制 $A$ 为 $\mathbb{F}_p$ 上的完美环。