[论文解读] Likelihood based inference for high-dimensional extreme value distributions

Christian Y. Robert, Robert, Christian Y.|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2014

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 14被引用 8

一句话总结

本论文基于具有绝对连续谱测度的广义极值分布，提出了一类基于似然的推断方法，适用于高维极值分布。该研究采用极值稳定模型，提出完整似然、复合似然、阈值删失和块最大值方法，并结合发生时间信息，建立了估计量的渐近正态性，模拟结果表明其效率显著优于成对复合似然方法，尤其在高达50维的情况下表现更优。

ABSTRACT

Multivariate extreme value statistical analysis is concerned with observations on several variables which are thought to possess some degree of tail-dependence. In areas such as the modeling of financial and insurance risks, or as the modeling of spatial variables, extreme value models in high dimensions (up to fifty or more) with their statistical inference procedures are needed. In this paper, we consider max-stable models for which the spectral random vectors have absolutely continuous distributions. For random samples with max-stable distributions we provide quasi-explicit analytical expressions of the full likelihoods. When the full likelihood becomes numerically intractable because of a too large dimension, it is however necessary to split the components into subgroups and to consider a composite likelihood approach. For random samples in the max-domain of attraction of a max-stable distribution, two approaches that use simpler likelihoods are possible: (i) a threshold approach that is combined with a censoring scheme, (ii) a block maxima approach that exploits the information on the occurrence times of the componentwise maxima. The asymptotic properties of the estimators are given and the utility of the methods is examined via simulation. The estimators are also compared with those derived from the pairwise composite likelihood method which has been previously proposed in the spatial extreme value literature.

研究动机与目标

• 开发高维极值分布的基于似然的推断方法，尤其适用于50个或更多变量的情形。
• 通过提出复合似然和基于阈值的方法，解决高维下完整似然计算不可行的问题。
• 在空间风险建模和金融风险建模背景下，比较所提似然方法与现有成对复合似然估计器的效率。
• 在正则性条件下，建立所提估计量的渐近正态性和一致性。
• 推导具有绝对连续谱测度的极值稳定模型中完整似然和复合似然的解析表达式。

提出的方法

• 推导出具有绝对连续谱测度的极值稳定分布的完整似然的准显式解析表达式。
• 通过将高维分量划分为子组，提出一种复合似然方法，以降低计算复杂度。
• 提出一种基于阈值的删失方法，结合低于边际阈值的信息，同时保持极值结构。
• 提出一种块最大值方法，利用分量最大值的发生时间信息，简化似然函数并提高估计效率。
• 应用渐近理论，证明最大似然估计量的渐近正态性，其协方差矩阵涉及费雪信息矩阵和归一化因子 V∗(θ;e)。
• 为完整似然、删失超额似然和分量最大值似然（含发生时间信息）分别推导显式得分函数和黑塞矩阵函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有绝对连续谱测度的高维极值稳定分布，解析表达其完整似然？
• RQ2 在高维极值建模中，复合似然方法相对于完整似然的相对效率如何？
• RQ3 结合发生时间信息的阈值方法和块最大值方法是否能提高高维极值推断中的估计效率？
• RQ4 所提似然方法与现有成对复合似然估计器在偏差和方差方面有何比较？
• RQ5 从所提似然框架中推导出的估计量具有何种渐近性质？

主要发现

• 所提完整似然方法的效率显著高于成对复合似然，尤其在高维情况下表现更优，且使用截断复合似然时损失极小。
• 已建立最大似然估计量 ˆθk 的渐近正态性，且满足 √k(ˆθk − θ0) 依分布收敛于均值为零、协方差矩阵为 V∗(θ0;e)I−1X∗(θ0) 的正态分布。
• 基于分量最大值及其发生时间信息的复合似然方法，其估计量在有限样本下表现良好，且具有强渐近性质。
• 阈值删失方法能有效结合极端与非极端观测值的信息，提升高维设定下的估计精度。
• 模拟结果证实，所提似然方法在均方误差和收敛速度方面均优于现有成对复合似然估计器。
• 为所有三种似然框架显式推导出得分函数和黑塞矩阵函数，从而支持高效的数值优化与统计推断。