[论文解读] Limit measures of inhomogeneous discrete-time quantum walks in one dimension

Norio Konno, Tomasz Łuczak+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2011

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一句话总结

本论文研究了一维非均匀离散时间量子行走中位于原点的单个缺陷所对应的极限测度——时间平均测度、弱极限测度和平稳测度。通过路径计数与谱分析，证明该量子行走属于一个具有通用弱极限测度形式的普适类，并表明特定初始态可使哈达玛行走产生均匀平稳测度，以及使缺陷模型产生时间平均极限测度。

ABSTRACT

We treat three types of measures of the quantum walk (QW) with the spatial perturbation at the origin, which was introduced by [1]: time averaged limit measure, weak limit measure, and stationary measure. From the first two measures, we see a coexistence of the ballistic and localized behaviors in the walk as a sequential result following [1,2]. We propose a universality class of QWs with respect to weak limit measure. It is shown that typical spatial homogeneous QWs with ballistic spreading belong to the universality class. We find that the walk treated here with one defect also belongs to the class. We mainly consider the walk starting from the origin. However when we remove this restriction, we obtain a stationary measure of the walk. As a consequence, by choosing parameters in the stationary measure, we get the uniform measure as a stationary measure of the Hadamard walk and a time averaged limit measure of the walk with one defect respectively.

研究动机与目标

• 表征在原点存在空间非均匀性的一维量子行走的长期行为，特别关注局域化与弹道扩展共存的现象。
• 确定具有单个缺陷的量子行走是否属于已知的具有特定弱极限测度形式的普适类。
• 推导当初始态不限于原点时该行走的平稳测度，扩展至标准原点初始条件之外的情形。
• 建立平稳测度退化为哈达玛行走均匀测度或与缺陷模型的时间平均极限测度一致的条件。

提出的方法

• 应用路径计数法计算通行权重的生成函数，从而实现对时间平均测度与弱极限测度的精确分析。
• 利用时间演化算子 $U^{(s)}$ 的谱理论与本征向量分析，推导一般初始态下的平稳测度。
• 采用通用弱极限测度形式：$\mu(dx) = C\delta_0(x) + w(x)f_K(x;r)\,dx$，其中 $f_K$ 为具有参数 $r \in (0,1)$ 的半圆型密度。
• 通过分析从原点出发的行走渐近行为，推导出时间平均极限测度的显式表达式。
• 通过选择演化算子 $U^{(s)}$ 的本征态作为初始态（具有无限空间支撑），构造平稳测度。
• 将平稳测度中的参数与缺陷行走的时间平均极限测度相匹配，证明在特定初始条件下二者等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 位于原点的单个缺陷量子行走是否属于具有通用弱极限测度形式的普适类？
• RQ2 当初始态不局域于原点时，能否为该行走推导出平稳测度？
• RQ3 在何种条件下，平稳测度退化为哈达玛行走的均匀测度？
• RQ4 能否通过特定初始态的平稳测度精确重现缺陷行走的时间平均极限测度？
• RQ5 弹道行为与局域化行为的共存现象在时间平均测度与弱极限测度中如何体现？

主要发现

• 具有单个缺陷的行走属于普适类，其弱极限测度为 $\mu(dx) = C\delta_0(x) + w(x)f_K(x;r)\,dx$，其中 $C \in [0,1)$，确认了通用渐近行为。
• 当初始态选择为 $U^{(s)}$ 的本征态，且满足 $|\phi_0^{(L)}|^2 = \overline{\mu}_\infty^{(\Psi_0,L)}(0)$ 与 $|\phi_0^{(R)}|^2 = \overline{\mu}_\infty^{(\Psi_0,R)}(0)$ 时，平稳测度与时间平均极限测度完全一致。
• 对于哈达玛行走，选择 $|\phi_0^{(L)}|^2 = |\phi_0^{(R)}|^2 = c/2$ 且 $\omega = 0$，可得均匀平稳测度 $\mu_I^{(\widetilde{\Psi}_0)}(x) = c$，对所有 $x \in \mathbb{Z}$ 成立。
• 原点处的时间平均极限测度被显式计算为 $\overline{\mu}_\infty^{(\Psi_0)}(0) = \left(\frac{1 - \cos\omega}{3 - 2\cos\omega}\right)^2 \left(1 \pm \frac{\sin\omega}{1 + \sin^2\omega}\right)$，具体取决于手征性。
• 针对一般初始态推导出的平稳测度在 $|x|$ 上呈指数衰减，振幅受 $\frac{1}{3 - 2\cos\omega}$ 调制，且系数依赖于手征性。
• 具有无限支撑的平稳测度的存在，使得即使在通常从缺陷点出发会发生局域化的系统中，也能避免局域化现象。