[论文解读] Linear Codes with Two or Three Weights From Quadratic Bent Functions

Zhengchun Zhou, Nian Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 21被引用 9

一句话总结

该论文从有限域 $\mathbb{F}_p$ 上的二次弯函数构造了具有两个或三个权重的 $p$-元线性码，其中 $p$ 为奇素数。通过利用二次型的权重分布和迹表示，作者推导出这些码的精确权重生成函数，表明若干构造在满足 Griesmer 或球面打包界等界限方面是最优的。

ABSTRACT

Linear codes with few weights have applications in secrete sharing, authentication codes, association schemes, and strongly regular graphs. In this paper, several classes of $p$-ary linear codes with two or three weights are constructed from quadratic Bent functions over the finite field $\gf_p$, where $p$ is an odd prime. They include some earlier linear codes as special cases. The weight distributions of these linear codes are also determined.

研究动机与目标

• 从 $\mathbb{F}_p$ 上的二次弯函数构造具有少量权重（两个或三个）的线性码，其中 $p$ 为奇素数。
• 利用二次型和高斯和的性质，确定这些码的完整权重分布。
• 证明所构造的码是最优的，能够达到已知界限（如 Griesmer 界或球面打包界）。
• 通过基于迹函数和子集选择的系统化框架，推广并扩展 Ding 等人的先前构造。
• 为潜在在认证和秘密共享中的应用，提供码字的显式迹表示。

提出的方法

• 以从 $\mathbb{F}_{p^m}$ 到 $\mathbb{F}_p$ 的二次弯函数 $Q(x)$ 作为码构造的基础。
• 利用迹函数 $\mathrm{Tr}_1^m$ 和子集 $\overline{D}_Q \subset \mathbb{F}_{p^m}^\times$ 定义码 $\mathcal{C}_{\overline{D}_Q}$。
• 根据秩和坐标变换下的等价性，将 $\mathbb{F}_p$ 上的二次型划分为三种典范类型（I、II、III）。
• 运用高斯和技巧和特征和恒等式，计算 $Q(\bar{x}) = \zeta$ 的解的数量，从而确定权重分布。
• 通过分析 $\alpha \in \mathbb{F}_{p^m}$ 的迹表示 $\mathrm{Tr}_1^m(\alpha x)$ 下码字的汉明权重，推导出权重生成函数。
• 利用二次型的秩和类型，区分 $m$ 为偶数和奇数的情况，从而导出两权重码与三权重码的不同权重分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用 $\mathbb{F}_p$ 上的二次弯函数构造出恰好具有两个或三个非零权重的线性码？
• RQ2 从二次弯函数构造出的线性码的精确权重分布是什么？
• RQ3 所构造的码在满足已知界限（如 Griesmer 界或球面打包界）方面是否是最优的？
• RQ4 二次型的结构（类型 I、II、III）如何影响权重分布和码参数？
• RQ5 码字的迹表示能否被简化或显式化，以适用于密码学和编码理论中的实际应用？

主要发现

• 当 $m$ 为奇数时，码 $\mathcal{C}_{\overline{D}_Q}$ 的参数为 $\left[\frac{p^{m-1}-1}{p-1}, m\right]$，且为三权重码，其权重分布见表 3。
• 当 $m$ 为偶数时，码 $\mathcal{C}_{\overline{D}_Q}$ 的参数为 $\left[\frac{p^{m-1}-1}{p-1} + \epsilon p^{\frac{m-2}{2}}, m\right]$，且为两权重码，其权重分布见表 4。
• 参数为 $[40, 5, 24]$ 的码具有权重生成函数 $1 + 90z^{24} + 80z^{27} + 72z^{30}$，证实其最优性，因为不存在最小距离为 25 的 $[40,5]$ 三元码。
• 参数为 $[10, 4, 6]$ 的码具有权重生成函数 $1 + 60z^6 + 20z^9$，且其最优性由其达到 Griesmer 界所证实。
• 参数为 $[26, 4, 20]$ 的码具有权重生成函数 $1 + 520z^{20} + 104z^{25}$，且其最优性由其达到 Griesmer 界所证实。
• 首次在文献中完全确定了 $\mathcal{C}_{\overline{D}_Q}$ 的权重分布，解决了投影几何码中的一个开放问题。