[论文解读] Linear collective collocation and Galerkin methods for parametric and stochastic elliptic PDEs

Ðinh Dũng|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文提出线性集体方法——泰勒展开、配点法与伽辽金法——通过在参数域 $[-1,1]^{\times}$ 上使用多项式展开，求解无穷维参数椭圆PDE。在较弱条件下，证明了这些方法可继承非参数问题中有限元方法的相同收敛速率，通过将参数复杂度隔离为常数因子，有效打破了维度灾难。

ABSTRACT

Consider the parametric elliptic problem \begin{equation} onumber - \operatorname{dv} \big(a(y)(x) abla u(y)(x)\big) = f(x) \quad x \in D, y \in [-1,1]^\infty, \quad u|_{\partial D} = 0, \end{equation} where $D \subset {\mathbb R}^m$ is a bounded Lipschitz domain, $[-1,1]^\infty$, $f \in L_2(D)$, and the diffusions $a$ satisfy the uniform ellipticity assumption and are affinely dependent with respect to $y$. The parametric variable $y$ may be deterministic or random. In the present paper, a central question to be studied is as follows. Assume that we have an approximation property that there is a sequence of finite element approximations with a certain error convergence rate in energy norm of the space $V:=H^1_0(D)$ for the nonparametric problem $- \operatorname{dv} \big(a(y_0)(x) abla u(y_0)(x)\big) = f(x)$ at every point $y_0 \in [-1,1]^\infty$. Then under what assumptions does this sequence induce a sequence of finite element approximations with the same error convergence rate for the parametric elliptic problem in the norm of the Bochner spaces $L_\infty([-1,1]^\infty,V)$ or $L_2([-1,1]^\infty,V)$? We solved this question by linear collective Taylor, collocation and Galerkin methods, based on Taylor expansions, Lagrange polynomial interpolations and Legendre polynomials expansions, respectively, on the parametric domain $[-1,1]^\infty$. Under very light conditions, we show that all these approximation methods give the same error convergence rate as that by the sequence of finite element approximations for the nonparametric elliptic problem. The parametric infinite-variate part completely disappears from the convergence rate and influences only the constant. Hence the curse of dimensionality is broken by linear methods.

研究动机与目标

• 确定在何种条件下，已知非参数椭圆问题有限元近似序列的收敛速率，可在参数设置下保持不变。
• 分析无穷维参数域 $[-1,1]^\rtimes$ 是否会降低博赫纳空间 $L_2$ 或 $L_\rtimes$ 中的收敛速率。
• 开发线性近似策略，使其在参数维数任意时仍保持原始收敛速率。
• 建立参数依赖性仅影响误差界中的常数项，而不影响收敛速率。

提出的方法

• 在参数域 $[-1,1]^\rtimes$ 上利用线性集体泰勒展开近似解映射。
• 通过配点进行拉格朗日多项式插值，构造参数近似。
• 在参数变量中使用勒让德多项式展开，构建伽辽金近似。
• 在博赫纳空间 $L_2([-1,1]^\rtimes, V)$ 和 $L_\rtimes([-1,1]^\rtimes, V)$ 中构造近似，其中 $V = H^1_0(D)$。
• 依赖于扩散系数 $a(y)$ 的仿射参数依赖性及一致椭圆性以保证稳定性。
• 证明在有限元序列的最小假设下，收敛速率仍可保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非参数问题中具有给定收敛速率的有限元方法，可在参数域 $[-1,1]^\rtimes$ 上保持相同的收敛速率？
• RQ2 线性参数近似方法是否能在无穷维参数维度下，仍保持底层有限元离散化的收敛速率？
• RQ3 参数域在多大程度上影响收敛速率，且这种影响能否被限制为乘法常数？
• RQ4 在相同假设下，泰勒、配点与伽辽金方法是否均达到相同的收敛速率？
• RQ5 在使用线性参数近似方案时，是否可避免收敛速率中的维度灾难？

主要发现

• 对于所有三种线性方法——泰勒、配点与伽辽金——非参数问题中有限元方法的收敛速率在参数设置下得以保持。
• 无穷维参数域 $[-1,1]^\rtimes$ 不会降低收敛速率，仅影响误差界中的常数项。
• 参数依赖性仅通过一个与参数维数无关的常数因子进入误差估计。
• 即使参数数量为无穷，这些方法仍可达到与底层有限元离散化相同的收敛速率。
• 一致椭圆性与 $a(y)$ 的仿射参数依赖性是确保速率保持的充分条件。
• 在此参数椭圆PDE框架下，线性集体方法有效打破了维度灾难。