[论文解读] Linear independence properties of the signature components of time-augmented stochastic processes

Arthur Bourdon, Benjamin Jourdain+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2026

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一句话总结

本论文研究时间扩增签名分量的线性无关性，确定可覆盖与完整 N-step 签名相同空间的词基结构，并证明在带加性布朗运动噪声的SDE及离散化路径下的独立性结果。

ABSTRACT

The addition of the running time as a component of a path before computing its signature is a widespread approach to ensure the one-to-one property between them and leads to universal approximation theorems (Cuchiero, Primavera and Svaluto-Ferro, 2023). However, this also leads to the linear dependence of the components of the terminal value of the signature of the time-augmented path. More precisely, for a given natural number $N$, the signature components associated with words of length $N$ have the same linear span as the signature components associated with words of length not greater than $N$. We generalize this result by exhibiting other subfamilies of signature components with the same spanning properties. In particular we recover the result of Dupire and Tissot-Daguette which states that the spanning of the iterated integrals with the last integrator different from the time variable is the same as the spanning of all iterated integrals. We check that this choice leads to the minimal computation time when the terms of the signature are calculated using Chen's relation in a backward way. The same optimal computation time is symmetrically achieved in a forward way for the iterated integrals with the first integrator different from the time variable. Building on these results, we derive several results regarding the linear independence of the signature components of a time-augmented stochastic process. We show that if the stochastic process we consider is solution to some SDE with additive Brownian noise then any subfamily of components proposed previously is linearly independent. We also prove that the linear independence of these subfamilies of components is still true when we consider the discretization of the sample paths of this stochastic process on a grid with a sufficiently small discretization time step.

研究动机与目标

• 使用时间扩充实现路径与其签名的一一对应关系、以及实现普适近似性质的动机。
• 表征哪些子族的签名分量与完整的 N-step 截断时间扩展签名具有相同的张成空间。
• 发展一个能产生相同张成的词基的概念，并分析其对可标识性、存储与计算的影响。
• 在带加性布朗噪声的 L2 下证明时间扩增签名的线性无关性结果，并推广到离散路径。
• 就通过 Chen 关系在向后与向前方案中对签名分量的最优计算提供指导。

提出的方法

• 定义时间扩增签名及其 N-step 截断并描述相应的特征空间。
• 引入 shuffle 产品与对偶括式形式来研究签名分量的张成。
• 为 W_N 定义词基，建立成为基的必要充分条件（定理 1–3）。
• 在带加性布朗噪声的 SDE 下，对由词基得到的子族证明线性无关性（定理 4）及推论（推论 3）。
• 证明对于小时间步长，离散化路径保持独立性（定理 5）。
• 讨论在向后和向前 Chen 关系下对签名分量的最优计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些时间扩增签名分量的子族与完整的 N-step 截断签名具有相同的线性张成？
• RQ2 在 L2 下，这些子族在何种条件下保持线性无关，特别是对带加性布朗噪声的 SDE？
• RQ3 如何构造 W_N 的词基以在保持张成与可辨识性的前提下降低计算量？
• RQ4 样本路径离散化是否会影响这些签名分量的线性无关性，在何种离散化步长下保持独立？
• RQ5 在使用时间扩增签名的词基进行回归与特征选择时的实际意义是什么？

主要发现

• 任何对应 W_N 的词基的子族都具有与完整的 N-step 截断签名相同的张成空间。
• 一个基可以按纯词分解，允许跨词类（gamma 前缀和 gamma 后缀）进行模块化构造。
• 对于时间扩增路径，长度为 N 的词的签名张成等同于所有长度至 N 的词的张成，意味着跨长度的线性相关性。
• 在带加性布朗噪声的 SDE 中，由词基产生的子族在 L2 中线性无关，并且在足够细的离散化下这种独立性保持。
• 通过使用避免不必要的时间字母结尾或开始的词，可以实现对称后向或前向 Chen 基计算，从而达到最优计算时间。
• 对于此类 SDE 解的分段线性插值及适当的可积性，在离散化设置中所选基仍保持独立性。