[论文解读] Linear Mahler Measures and Double L-values of Modular Forms

Evgeny Shinder, Masha Vlasenko|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 2被引用 4

一句话总结

该论文证明了多项式 $1 + x_1 + x_2 + x_3 + x_4$ 的线性Mahler测度等于权为4的亚纯模形式的双L值的线性组合，具体涉及与模函数 $t(z)$ 和 $̲\Gamma_0(6)+3$ 的权-2形式 $f(z)$ 相关的 $g_1$、$g_2$ 和 $g_3$。该结果在包含已知三变量Mahler测度的修正项下，证实了Rodriguez-Villegas的猜想。

ABSTRACT

We consider the Mahler measure of the polynomial 1+x_1+x_2+x_3+x_4, which is the first case not yet evaluated explicitly. A conjecture due to F. Rodriguez-Villegas represents this Mahler measure as a special value at the point 4 of the L-function of a modular modular form of weight 3. We prove that this Mahler measure is equal to a linear combination of double L-values of certain meromorphic modular forms of weight 4.

研究动机与目标

• 解决 $1 + x_1 + x_2 + x_3 + x_4$ 的线性Mahler测度显式计算这一开放问题，尽管对较少变量的情形已有已知结果。
• 验证F. Rodriguez-Villegas的猜想，即该Mahler测度等于权为3的水平为15的模形式 $f_{15}$ 的L函数的特殊值。
• 建立Mahler测度的新表示形式，即作为权为4的具有特定极点的亚纯模形式的双L值的线性组合。
• 开发并应用一种结合模函数、微分算子和多重积分的方法，尽管模形式中存在极点，仍能有效计算这些双L值。

提出的方法

• 定义 $\Gamma_0(6)+3$ 群的权为2的模函数 $t(z)$ 和 $f(z)$，由此生成权为4的模形式 $g_1 = (Dt/t)f$、$g_2 = t/(1-t) \cdot g_1$ 和 $g_3 = t(212t^2 + 251t - 13)/(1-t)^3 \cdot g_1$。
• 使用微分算子 $D = \frac{1}{2\pi i} \frac{d}{dz} = q \frac{d}{dq}$ 从 $t(z)$ 和 $f(z)$ 构造权为4的模形式，其中 $g_1$ 是全纯的，而 $g_2$ 和 $g_3$ 是亚纯的，极点位于 $t(z) = 1$。
• 通过迭代积分定义双L值：$L(g_j, g_1, 3, 1) = (2\pi)^4 \int_0^\infty g_1(is) \int_s^\infty \int_{s_1}^\infty g_j(is_3) \, ds_3 \, ds_2 \, ds_1 \, ds$，由于 $g_j$ 沿虚轴的指数衰减，该积分收敛。
• 应用Atkin-Lehner对合变换 $f_2(-1/12z)$，并将所得形式表示为Eisenstein级数 $E_1(z)$ 的组合，从而利用已知的L函数恒等式计算L值。
• 利用恒等式 $\int_0^{i\infty} f(z) z^{k-1} dz = \frac{(k-1)!}{(-2\pi i)^k} L(f,k)$ 将积分转化为模形式的L值。
• 将 $f_1(z)$ 和 $f_2(z)$ 表示为 $E_1(lz)$ 的线性组合（$l=1,2,4$），并利用Euler乘积展开和zeta函数恒等式计算 $L(f_1,2)$ 和 $L(f_1 \hat{f}_2,3)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $1 + x_1 + x_2 + x_3 + x_4$ 的线性Mahler测度表示为模形式L函数的特殊值？
• RQ2 Rodriguez-Villegas的猜想（即该Mahler测度与权为3的水平为15的模形式 $f_{15}$ 的 $L(f_{15},4)$ 相关）是否在包含三变量Mahler测度的修正项下成立？
• RQ3 在缺乏此类多重积分的一般理论背景下，如何有意义地定义并计算具有极点的亚纯模形式的双L值？
• RQ4 在Mahler测度计算中出现的双L值 $L(g_j, g_1, 3, 1)$ 具有何种几何或算术意义？

主要发现

• Mahler测度 $m(1+x_1+x_2+x_3+x_4)$ 等于 $\frac{4}{5}m(1+x_1+x_2+x_3)$ 加上权为4的亚纯模形式双L值的线性组合。
• 关键结果为 $m(1+x_1+x_2+x_3+x_4) - \frac{4}{5}m(1+x_1+x_2+x_3) = \frac{3\sqrt{5}\Omega_{15}^2}{20\pi}L(g_3,g_1,3,1) - \frac{3\sqrt{5}}{10\pi^3\Omega_{15}^2}L(g_2,g_1,3,1)$，其中 $\Omega_{15}$ 是 $\mathbb{Q}(\sqrt{-15})$ 的Chowla-Selberg周期。
• 数值计算验证了该公式：$L(g_2,g_1,3,1) \approx -0.4466$ 且 $L(g_3,g_1,3,1) \approx 8.5383$，与理论表达式一致。
• 全纯形式 $g_1$ 满足 $m(1+x_1+x_2+x_3) = -\frac{1}{2}L(g_1,1)$，将三变量Mahler测度与L值直接关联。
• 双L值通过虚轴上的迭代积分定义，由于 $g_j(is)$ 在 $s \to \infty$ 时指数衰减且在 $s=0$ 附近有界，即使在上半平面存在极点，积分仍收敛。
• 该方法通过Atkin-Lehner对合变换 $f_2(-1/12z)$ 并将结果表示为Eisenstein级数，成功计算了积分，从而实现了L值的精确计算。