[论文解读] Linear Recurrence Sequences With Indices in Arithmetic Progression and Their Sums

Daniel Birmajer, Juan B. Gil+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2015

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文利用部分贝尔多项式与原始系数的卢卡斯变换，推导出线性递推序列中索引为等差数列的子序列的显式递推关系。此外，还提供了此类序列部分和的闭式公式，从而实现对斐波那契数、卢卡斯数和三体数等序列在等差数列上求和的高效计算。

ABSTRACT

For an arbitrary homogeneous linear recurrence sequence of order d with constant coefficients, we derive recurrence relations for all subsequences with indices in arithmetic progression. The coefficients of these recurrences are given explicitly in terms of partial Bell polynomials that depend on at most d-1 terms of the generalized Lucas sequence associated with the given recurrence. We also provide an elegant formula for the partial sums of such sequences and illustrate all of our results with examples of various orders, including common generalizations of the Fibonacci numbers.

研究动机与目标

• 推导任意 d 阶齐次线性递推序列的子序列 (a_{mn+r}) 的显式递推关系。
• 以部分贝尔多项式和原始系数的卢卡斯变换表征这些新递推关系的系数。
• 为这类序列的部分和提供闭式公式，从而实现对等差数列上求和的高效计算。
• 将斐波那契数、卢卡斯数和三体数序列的已知结果统一并推广到适用于任意线性递推的单一框架中。

提出的方法

• 使用涉及系数阶乘的部分贝尔多项式，定义递推系数 (c1,…,cd) 的卢卡斯变换 (ân)。
• 证明序列 (ân) 满足与 (an) 相同的递推关系，并将其表示为 ân = ∑αj^n，其中 αj 为特征多项式的根。
• 利用系数 γk（通过卢卡斯变换序列值 âm, â2m, ..., â( d-1)m 的部分贝尔多项式表达）推导 (a_{mn+r}) 的递推关系。
• 利用母函数与逆变换，推导出 ∑_{j=0}^n aj 关于 a_{n+1}, ..., a_{n+d} 与卢卡斯变换的通用公式。
• 结合递推与求和公式，高效计算任意 m 与 r 的 ∑_{j=0}^n a_{mj+r}。
• 通过斐波那契数、k-斐波那契数、卢卡斯数与三体数等例子说明结果，并验证其与已知恒等式的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意 d 阶齐次线性递推，子序列 (a_{mn+r}) 所满足的线性递推的系数能否以闭式表达？
• RQ2 卢卡斯变换在刻画索引为等差数列的子序列的递推结构中起什么作用？
• RQ3 能否为线性递推序列的部分和 ∑_{j=0}^n a_j 推导出独立于初值的通用闭式公式？
• RQ4 所推导的子序列与部分和公式如何推广至广义斐波那契数与三体数序列？
• RQ5 确定 (a_{mn+r}) 的递推关系，最少需要多少项的卢卡斯变换？

主要发现

• 子序列 (a_{mn+r}) 满足 d 阶线性递推，其系数 γk 由下式显式给出：γk = ∑_{j=1}^k [(-1)^{j+1}/k!] B_{k,j}(0!âm, 1!â2m, ..., (k-j)!â(k-j+1)m)，其中 ân 为 (c1,…,cd) 的卢卡斯变换。
• 部分和 ∑_{j=0}^n a_j 表示为 a_{n+1}, ..., a_{n+d} 的线性组合，其系数由卢卡斯变换导出，从而可直接计算，无需迭代求和。
• 对于二阶递推，∑_{j=0}^n a_{mj+r} 由 a_{m(n+2)+r}, a_{m(n+1)+r}, a_{mn+r} 与 a_r 的有理函数表示，其系数依赖于 âm 与 c2^m。
• 对于三阶递推，∑_{j=0}^n a_{mj+r} 使用 âm 与 â2m 表示，公式包含三项与一个依赖于初值的修正项 I_{m,r}。
• 公式可恢复斐波那契数与三体数的已知恒等式，如 ∑_{j=0}^n t_j = (t_{n+2} + t_n - 1)/2 与 ∑_{j=0}^n t_{2j} = (t_{2n+1} + t_{2n})/2，验证了其一致性。
• 该方法仅需 âm, â2m, ..., â( d-1)m 即可确定 (a_{mn+r}) 的递推关系，相比完整序列生成显著降低了计算复杂度。