[论文解读] Liouville quantum gravity surfaces with boundary as matings of trees

Morris Ang, Ewain Gwynne|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 47被引用 5

一句话总结

该论文证明了在具有边界的李维量子重力表面（如量子圆盘或量子楔形）上，空间填充型 SLE$_{16/\gamma^2}$ 曲线的左右量子边界长度过程，以相关系数为 $-\cos(\pi\gamma^2/4)$ 的二维相关布朗运动演化。该结果将树木嫁接定理推广至边界情形，从而可通过相关布朗运动的泛函规律，显式计算给定边界长度下量子圆盘的 LQG 面积的条件分布。

ABSTRACT

For $γ\in (0,2)$, the quantum disk and $γ$-quantum wedge are two of the most natural types of Liouville quantum gravity (LQG) surfaces with boundary. These surfaces arise as scaling limits of finite and infinite random planar maps with boundary, respectively. We show that the left/right quantum boundary length process of a space-filling SLE$_{16/γ^2}$ curve on a quantum disk or on a $γ$-quantum wedge is a certain explicit conditioned two-dimensional Brownian motion with correlation $-\cos(πγ^2/4)$. This extends the mating of trees theorem of Duplantier, Miller, and Sheffield (2014) to the case of quantum surfaces with boundary (the disk case for $γ\in (\sqrt 2 , 2)$ was previously treated by Duplantier, Miller, Sheffield using different methods). As an application, we give an explicit formula for the conditional law of the LQG area of a quantum disk given its boundary length by computing the law of the corresponding functional of the correlated Brownian motion.

研究动机与目标

• 将整个平面量子圆锥上的树木嫁接定理推广至具有边界的量子曲面（如量子圆盘和量子楔形）。
• 刻画这些边界正则化的 LQG 曲面上，空间填充型 SLE$_{16/\gamma^2}$ 曲线的左右量子边界长度过程。
• 利用相关布朗运动的表示，推导出给定边界长度下量子圆盘的 LQG 面积的条件分布的显式公式。
• 通过在 $\gamma \in (0,2)$ 全区间内提供一致的框架，统一并推广先前结果，特别是针对 $\gamma \in (\sqrt{2}, 2)$ 的情形。

提出的方法

• 以整个平面的树木嫁接定理为基础，通过共形嵌入和量子长度参数化，将其适配至具有边界的曲面。
• 在量子圆盘和楔形上应用空间填充型 SLE$_{16/\gamma^2}$ 曲线，以追踪随时间演化的左右量子边界长度。
• 将边界长度过程建模为相关系数为 $-\cos(\pi\gamma^2/4)$ 的相关布朗运动，该结果源于共形焊接与 SLE 的性质。
• 使用圆锥首达过程和 Shimura 的圆锥中的布朗运动首达过程，描述在返回零点条件下的边界长度过程的联合分布。
• 利用条带上的共形映射的正则性估计与畸变界，控制逼近过程的收敛性。
• 应用时间反转与耦合论证，证明边界长度过程几乎必然确定曲线装饰的量子曲面（模等价关系）。

实验结果

研究问题

• RQ1 当空间填充型 SLE$_{16/\gamma^2}$ 曲线被嵌入具有边界的量子圆盘或量子楔形时，其左右量子边界长度过程如何演化？
• RQ2 对于 $\gamma \in (0,2)$，边界长度过程的精确分布为何种相关布朗运动的形式？
• RQ3 能否通过边界长度过程显式计算给定边界长度下量子圆盘的 LQG 面积的条件分布？
• RQ4 树木嫁接框架如何推广至具有边界的量子曲面，特别是在 $\gamma \in (0,\sqrt{2}]$ 的情形？
• RQ5 在量子圆盘设定下，时间反转的 SLE 曲线与边界长度过程之间存在何种关系？

主要发现

• 在量子圆盘或楔形上，空间填充型 SLE$_{16/\gamma^2}$ 曲线的左右量子边界长度过程是一个相关系数为 $-\cos(\pi\gamma^2/4)$ 的二维布朗运动。
• 当 $\gamma \in (0,\sqrt{2}]$ 时，边界长度过程是圆锥中的布朗首达过程，其条件为始终停留在第一象限并在 $(1,0)$ 处退出。
• 通过相关布朗运动的泛函规律，显式推导出给定边界长度下单位边界长度量子圆盘的 LQG 面积的条件分布。
• 在量子圆盘上，时间反转的空间填充型 SLE 曲线诱导的过程，其分布与时间反转的边界长度过程等价，从而确认了可逆性性质。
• 曲线装饰的量子曲面几乎必然由其边界长度过程确定，从而在边界上建立了完整的树木嫁接对应关系。
• 该结果统一并推广了先前结果，包括 Duplantier、Miller 和 Sheffield 在 $\gamma \in (\sqrt{2},2)$ 情形下的工作，现已被扩展至所有 $\gamma \in (0,2)$。