[论文解读] Liouville type theorems, a priori estimates and existence of solutions for non-critical higher order Lane-Emden-Hardy equations

Wei Dai, Shaolong Peng+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文建立了带奇异势的非临界高阶Lane-Emden-Hardy方程的Liouville定理，证明在特定指数与维数约束下，唯一非负经典解为平凡解（$u \equiv 0$）。通过局部化移动平面法与爆破分析，作者导出先验估计，并利用拓扑度理论证明有界区域中正解的存在性。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with the non-critical higher order Lane-Emden-Hardy equations \begin{equation*} (-Δ)^{m}u(x)=\frac{u^{p}(x)}{|x|^{a}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, ext{in} \,\,\, \mathbb{R}^{n} \end{equation*} with $n\geq3$, $1\leq m

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{R}^n$ 中建立带奇异势的非临界高阶Lane-Emden-Hardy方程的Liouville型定理。
• 利用Liouville结果，为有界区域中正解导出先验估计。
• 通过拓扑度方法，证明有界光滑区域中高阶Navier问题正解的存在性。
• 将先前关于临界阶方程的结果推广至非临界情形，其中 $a \in [0, 2m)$ 且 $p$ 处于次临界范围。

提出的方法

• 采用局部化移动平面法，证明 $\mathbb{R}^n$ 中解的对称性与单调性。
• 运用爆破分析，从大点态值中导出矛盾，从而得到Liouville型结果。
• 利用Kelvin变换与超多调和性质，分析解在无穷远处与原点附近的性质。
• 通过与特征函数及边界层厚度比较，导出先验估计，且在 $0 \leq t < C_2$ 时一致。
• 对扰动问题 $(-\Delta)^m u = u^p + t$ 应用拓扑度理论，证明解的存在性。
• 依赖正则性理论，得出解 $u$ 属于 $C^{2m}(\Omega) \cap C^{2m-2}(\overline{\Omega})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $1 < p < \frac{n+2m-2a}{n-2m}$ 条件下，当 $0 \leq a < 2$ 时，非临界高阶Lane-Emden-Hardy方程 $(-\Delta)^m u = u^p / |x|^a$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中是否允许存在非平凡非负解？
• RQ2 在非临界指数情形下，有界区域中正解的先验估计是否能实现一致有界？
• RQ3 通过度理论方法，能否保证有界区域中 $(-\Delta)^m u = u^p$ 的Navier问题正解的存在性？
• RQ4 当 $2 \leq a < 2m$ 时，结果如何推广至 $p$ 可任意大之情形？
• RQ5 局部化移动平面法在证明奇异高阶方程的Liouville型定理中起何种作用？

主要发现

• 在 $n \geq 3$，$1 \leq m < n/2$，$0 \leq a < 2m$，且当 $0 \leq a < 2$ 时 $1 < p < \frac{n+2m-2a}{n-2m}$，或当 $2 \leq a < 2m$ 时 $1 < p < \infty$ 的条件下，$(-\Delta)^m u = u^p / |x|^a$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中的唯一非负经典解为 $u \equiv 0$。
• 在有界区域中，正解的先验估计对所有 $t \in [0, C_2)$ 一致成立，估计界依赖于 $n, m, p, C_2, \lambda_1$ 与 $\Omega$。
• 通过拓扑度理论，证明了有界区域中Navier问题 $(-\Delta)^m u = u^p$ 存在正解，且满足 $\|u\|_{L^\infty(\overline{\Omega})} \leq C_0 + \rho$，其中 $C_0 > 0$。
• 证明依赖于反证法，通过爆破序列构造并收敛至极限方程 $(-\Delta)^m v = v^p$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中的解，该解必为零，由Liouville定理保证。
• 先验估计在 $t \in [0, C_2)$ 上一致，确保了度理论论证中的紧性。
• Navier问题的解 $u$ 属于 $C^{2m}(\Omega) \cap C^{2m-2}(\overline{\Omega})$，确认了其正则性。