[论文解读] Local existence and WKB approximation of solutions to Schrödinger-Poisson system in the two-dimensional whole space

Satoshi Masaki|ArXiv.org|Dec 8, 2009

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文在不依赖中性条件的前提下，通过改进的马德尔ung变换处理泊松势的对数增长，建立了二维薛定谔-泊松系统的局部解存在性与WKB近似。关键贡献在于，尽管势能随空间缓慢增长，仍对 $ H^s(\bbR^2) $ 初始数据（$ s>2 $）在半经典极限下严格验证了WKB渐近展开的有效性。

ABSTRACT

We consider the Schrödinger-Poisson system in the two-dimensional whole space. A new formula of solutions to the Poisson equation is used. Although the potential term solving the Poisson equation may grow at the spatial infinity, we show the unique existence of a time-local solution for data in the Sobolev spaces by an analysis of a quantum hydrodynamical system via a modified Madelung transform. This method has been used to justify the WKB approximation of solutions to several classes of nonlinear Schrödinger equation in the semiclassical limit.

研究动机与目标

• 解决当缺乏中性条件时，二维薛定谔-泊松系统在零背景情形下的适定性结果缺失问题。
• 在二维空间中，对半经典薛定谔-泊松系统，当势能随无穷远处对数增长时，证明WKB近似的合理性。
• 通过引入基于马德尔ung变换的改进量子流体形式，克服势能项非可积增长的困难。
• 在 $ H^s(\bbR^2) $（$ s>2 $）中建立解的时间局部存在性，即使势能 $ P $ 满足 $ |P(x)| = O(\log|x|) $ 当 $ |x|\to\infty $。

提出的方法

• 使用 $ \bbR^2 $ 中泊松方程的新解公式：$ P(x) = -\frac{1}{2\pi}\int_{\bbR^2} \log\left(\frac{|x-y|}{|y|}\right) |u(y)|^2 dy $，避免了对中性条件的需求。
• 应用改进的马德尔ung变换，将薛定谔-泊松系统重写为量子流体系统，从而实现对对数势能增长的控制。
• 在适应对数增长的函数空间中使用不动点论证，结合加权 $ L^p $ 估计与Riesz变换界。
• 利用Hardy-Littlewood-Sobolev不等式与Gagliardo-Nirenberg插值分析势能及其导数的渐近行为。
• 在 $ \varepsilon \to 0 $ 时，于适当拓扑下验证WKB假设 $ u^\varepsilon(t,x) = e^{i\phi^\varepsilon(t,x)/\varepsilon}(a_0 + \varepsilon a_1 + \cdots + \varepsilon^N a_N + o(\varepsilon^N)) $ 的有效性。
• 利用调和函数理论，证明在 $ \nabla P \in L^\infty $，$ \nabla P \to 0 $ 当 $ |x|\to\infty $，且 $ P(0)=0 $ 的条件下，泊松方程的解唯一。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏中性条件 $ \int (|u|^2 - b) dx = 0 $ 的情况下，二维薛定谔-泊松系统是否仍适定，特别是在零背景情形 $ b \equiv 0 $ 时？
• RQ2 当势能在无穷远处对数增长时，如何在二维空间中为半经典薛定谔-泊松系统提供WKB近似的合理性证明？
• RQ3 在不需无穷远处可积性的情况下，$ \bbR^2 $ 中何种泊松势的正确表述可保证在Sobolev空间中解的局部存在性？
• RQ4 改进的马德尔ung变换是否可用于控制非线性薛定谔方程中具有对数增长的非线性势能项？
• RQ5 在 $ \nabla P \in L^\infty $，$ \nabla P \to 0 $，且 $ P(0)=0 $ 的条件下，方程 $ -\Delta P = |u|^2 $ 的解 $ P $ 具有哪些正则性与衰减性质？

主要发现

• 在 $ \bbR^2 $ 中，泊松方程 $ -\Delta P = |u|^2 $ 的解唯一表示为 $ P(x) = -\frac{1}{2\pi}\int_{\bbR^2} \log\left(\frac{|x-y|}{|y|}\right) |u(y)|^2 dy $，当 $ |u|^2 \in L^{p_0}(\bbR^2) $ 且 $ p_0 \in (1,2) $ 时该表达式定义良好，且无需中性条件。
• 势能 $ P $ 满足当 $ |x| \to \infty $ 时 $ |P(x)| = O(\|u\|_{L^2}^2 \log|x|) $，且 $ \nabla P \in L^\infty(\bbR^2) $，但对于任意非平凡 $ u $，均有 $ \nabla P \notin L^2(\bbR^2) $。
• 对于初始数据 $ u_0 \in H^s(\bbR^2) $ 且 $ s > 2 $，薛定谔-泊松系统在 $ C((-T,T); H^s(\bbR^2)) $ 中存在唯一局部解，即使 $ P $ 具有对数增长。
• WKB近似 $ u^\varepsilon(t,x) = e^{i\phi^\varepsilon(t,x)/\varepsilon}(a_0 + \varepsilon a_1 + \cdots + \varepsilon^N a_N + o(\varepsilon^N)) $ 在 $ \varepsilon \to 0 $ 时于适当拓扑下成立，从而验证了半经典极限。
• 解 $ P $ 属于 $ C^2(\bbR^2) $，且对所有 $ p \in [p_0, \infty) $ 有 $ \partial_j \partial_k P \in L^p(\bbR^2) $，对所有 $ r \in [q_0, \infty) $ 有 $ \nabla P \in L^r(\bbR^2) $，且通过Hölder与Gagliardo-Nirenberg不等式可得 $ \nabla P \in L^\infty(\bbR^2) $。
• 在 $ \nabla P \in L^\infty $，$ \nabla P \to 0 $ 于无穷远处，且 $ P(0)=0 $ 的条件下，泊松方程的解唯一性得以证明，依据是：在无穷远处趋于零的有界调和函数恒为零。