[论文解读] Local strong maximal monotonicity and full stability for parametric variational systems

Boris S. Mordukhovich, T. T. A. Nghia|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2014

Optimization and Variational Analysis参考文献 33被引用 6

一句话总结

本文通过局部强极大单调性与二阶广义微分工具，引入并刻画了希尔伯特空间中参数变分系统的利普希茨型与霍尔德型全稳定性。通过二阶构造的正定性，建立了全稳定性的可验证充分条件，扩展了先前结果，且无需事先假设单调性。

ABSTRACT

The paper introduces and characterizes new notions of Lipschitzian and Hölderian full stability of solutions to general parametric variational systems described via partial subdifferential and normal cone mappings acting in Hilbert spaces. These notions, postulated certain quantitative properties of single-valued localizations of solution maps, are closely related to local strong maximal monotonicity of associated set-valued mappings. Based on advanced tools of variational analysis and generalized differentiation, we derive verifiable characterizations of the local strong maximal monotonicity and full stability notions under consideration via some positive-definiteness conditions involving second-order constructions of variational analysis. The general results obtained are specified for important classes of variational inequalities and variational conditions in both finite and infinite dimensions.

研究动机与目标

• 引入并刻画希尔伯特空间中参数变分系统（PVS）的利普希茨型与霍尔德型全稳定性的新概念。
• 建立全稳定性与与PVS相关联的集值映射的局部强极大单调性之间的联系。
• 利用二阶变分分析工具，推导全稳定的可验证、定量条件。
• 在不施加限制性单调性假设的前提下，将现有关于解映射单值性与利普希茨连续性的结果加以扩展。
• 在较弱的约束规范条件下，为参数变分不等式与互补问题提供全稳定的新的充分必要条件。

提出的方法

• 利用变分分析与广义微分的高级工具，特别是共导数与二阶次微分。
• 应用共导数对利普希茨型性质的刻画，以分析解映射的稳定性。
• 引入并分析广义强二阶充分条件（GSSOSC）作为全稳定性的关键准则。
• 通过线性化与逐点二阶条件，在部分MFCQ、CRCQ与LICQ下推导表征结果。
• 在部分LICQ下，建立全稳定性与GSSOSC的等价性；在部分MFCQ与CRCQ下，证明GSSOSC的充分性。
• 将结果应用于变分不等式与参数互补问题（PVC），在具体例子中验证条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不事先假设单调性的情况下，参数变分系统的解映射在何种条件下是局部单值且利普希茨连续的？
• RQ2 如何将底层集值映射的局部强极大单调性与全稳定性概念相联系？
• RQ3 何种二阶广义微分条件可确保参数变分系统中的全稳定性？
• RQ4 在部分线性独立约束规范（LICQ）下，广义强二阶充分条件（GSSOSC）是否为全稳定的必要且充分条件？
• RQ5 所提出的稳定性概念是否可在参数变分不等式与互补问题等具体情形中得到验证？

主要发现

• 当部分MFCQ与CRCQ成立时，广义强二阶充分条件（GSSOSC）是解映射全稳定的充分条件。
• 在部分LICQ下，GSSOSC既是必要条件也是充分条件，提供了精确的刻画。
• 若GSSOSC成立，则解映射在参考点附近存在单值利普希茨连续的局部化。
• 本研究通过去除限制性单调性假设，并将充分条件扩展至[9, 21]与[19]之外，改进了先前工作。
• 在例6.4中，GUSOSC成立但SCOC不成立，表明GSSOSC严格强于经典最优性条件。
• 本文证明，全稳定性蕴含局部单值性与利普希茨连续性，即使在不假设初始数据单调性的情况下亦成立。