[论文解读] Local well-posedness and instability of travelling waves in a chemotaxis model

Martin Meyries|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2008

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 16被引用 16

一句话总结

本文在具有非线性扩散和奇异敏感性的趋化模型中，建立了行波解的局部适定性及非线性不稳定性。通过使用指数加权空间和无界算子矩阵的谱分析，证明了在临界速度以上的行波具有不稳定性，将线性化不稳定性理论扩展至具有无界系数的完全非线性抛物系统。

ABSTRACT

We consider the Keller-Segel model for chemotaxis with a nonlinear diffusion coefficent and a singular sensitivity function. We show the existence of travelling waves for wave speeds above a critical value, and establish local well-posedness in exponentially weighted spaces in a neighbourhood of a wave. A part of the essential spectrum of the linearization, which has unbounded coefficients on one half-axis, is determined. Generalizing the principle of linearized instability without spectral gap to fully nonlinear parabolic problems, we obtain nonlinear instability of the waves in certain cases.

研究动机与目标

• 在具有非线性扩散和奇异敏感性的趋化系统中，于指数加权空间中建立局部适定性。
• 尽管在某一半轴上系数无界，仍分析行波附近线性化算子的本质谱。
• 将线性化不稳定性原理推广至无谱间隙的完全非线性抛物系统。
• 在特定条件下证明行波的非线性不稳定性，特别是当波速超过临界阈值时。

提出的方法

• 将Keller-Segel系统变换至行波坐标系，将其约化为具有KPP型非线性的二阶常微分方程组。
• 使用指数加权函数空间处理奇异敏感性项，确保在波形附近的适定性。
• 应用扇形性理论与弗雷德霍尔姆性质，分析具有无界系数的线性化算子。
• 将本质谱与关联常系数矩阵系统的双曲性联系起来。
• 通过证明p-线性化性并利用霍尔德连续性估计，将线性化不稳定性原理推广至非线性抛物PDE。
• 利用初时映射与半群理论，在加权空间中通过压缩映射原理推导非线性不稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有非线性扩散和奇异敏感性的趋化模型中，前导-脉冲行波在何种条件下存在？
• RQ2 当线性化中存在奇异项和无界系数时，如何建立局部适定性？
• RQ3 当系数在某一一半轴上无界时，线性化算子的本质谱的哪一部分可被刻画？
• RQ4 线性化不稳定性原理能否推广至无谱间隙的完全非线性抛物系统？
• RQ5 在何种条件下，该趋化模型中的行波会出现非线性不稳定性？

主要发现

• 在给定的k(u)和奇异敏感性φ(v) = χ/v假设下，当c > 2√γ时，行波解在临界速度以上存在。
• 在连续函数的指数加权空间中建立了局部适定性，系统右端项为C¹类且导数局部Lipschitz连续。
• 通过将弗雷德霍尔姆性质与关联常系数矩阵系统的双曲性联系，确定了线性化算子本质谱的一部分。
• 当χ相对于α较小时，对于超过修正后临界阈值的波速，局部适定性成立，需对c施加额外限制。
• 通过将线性化不稳定性原理推广至具有无界系数的完全非线性抛物系统，证明了在某些参数区域中行波的非线性不稳定性。
• 分析依赖于非线性算子的p-线性化性及时间上的霍尔德连续性估计，确保初时映射满足非线性不稳定性条件。