[论文解读] Locality estimes for complex time evolution in 1D

David Pérez-Garcı́a, Antonio Pérez|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2020

Quantum many-body systems参考文献 35被引用 6

一句话总结

本文将阿良崎（Araki）在1969年对一维量子系统中复时间演化之局域性估计的开创性结果，推广至具有指数衰减相互作用的情形，证明了时间演化算符在实轴周围条带区域内的解析性。作为关键结果，它建立了在依赖于相互作用衰减速率的温度阈值以上，热态中关联的指数衰减，恢复了阿良崎原始结果作为特例，并通过全息对偶性将应用扩展至二维PEPS的能隙问题。

ABSTRACT

It is a generalized belief that there are no thermal phase transitions in short range 1D quantum systems. However, the only known case for which this is rigorously proven is for the particular case of finite range translational invariant interactions. The proof was obtained by Araki in his seminal paper of 1969 as a consequence of pioneering locality estimates for the time-evolution operator that allowed him to prove its analiticity on the whole complex plane, when applied to a local observable. However, as for now there is no mathematical proof of the abscence of 1D thermal phase transitions if one allows exponential tails in the interactions. In this work we extend Araki's result to include exponential (or faster) tails. Our main result is the analyticity of the time-evolution operator applied on a local observable on a suitable strip around the real line. As a consequence we obtain that thermal states in 1D exhibit exponential decay of correlations above a threshold temperature that decays to zero with the exponent of the interaction decay, recovering Araki's result as a particular case. Our result however still leaves open the possibility of 1D thermal short range phase transitions. We conclude with an application of our result to the spectral gap problem for Projected Entangled Pair States (PEPS) on 2D lattices, via the holographic duality due to Cirac et al.

研究动机与目标

• 将阿良崎1969年关于一维量子系统中时间演化算符解析性的结果，推广至具有指数（或更快）衰减的相互作用。
• 建立一维系统中具有指数衰减相互作用的复时间演化之局域性估计，超越有限范围相互作用的范畴。
• 证明在无限体积吉布斯态中，当温度高于依赖于相互作用衰减速率的阈值时，关联呈指数衰减。
• 将二维PEPS的投影纠缠对态（PEPS）能隙判据，从有限范围相互作用推广至指数衰减相互作用的情形。
• 弥合严格的局域性估计与物理现象（如热相变和量子多体系统中的能隙）之间的鸿沟。

提出的方法

• 通过将时间演化表示为跨表面的能量相互作用，推导出一维系统中复时间演化的新局域性估计，推广阿良崎原始方法。
• 利用阿良崎-戴森展开公式分析平衡态的局部扰动，借助新局域性估计。
• 结合Lieb-Robinson界与新局域性估计，将解析性域扩展至复时间平面中的水平条带。
• 证明解析性条带的宽度与相互作用衰减速率λ成正比，具体为|Im(s)| < λ/(4Ω₀)，其中Ω₀为相互作用强度。
• 利用时间演化算符的解析性，证明在β < λ/(2Ω₀)时，KMS态中关联呈指数衰减。
• 通过证明若边界哈密顿量具有指数衰减，则母哈密顿量是能隙的，将结果应用于二维PEPS的能隙问题，扩展了先前针对有限范围相互作用的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿良崎关于一维量子系统中时间演化解析性的结果，能否推广至具有指数衰减的相互作用？
• RQ2 当相互作用呈指数衰减而非严格有限范围时，一维系统中无热相变的性质是否仍然成立？
• RQ3 关联指数衰减的温度阈值与相互作用衰减速率之间的精确依赖关系为何？
• RQ4 二维PEPS的能隙判据能否从有限范围相互作用推广至指数衰减相互作用？
• RQ5 当相互作用衰减快于任意多项式（如指数衰减）时，复时间演化之局域性估计如何变化？

主要发现

• 当相互作用按Ωₙ = O(e⁻ˡⁿ)衰减（λ > 0）时，时间演化算符作用于局域可观测量在复平面中解析，其解析条带为|Im(s)| < λ/(4Ω₀)。
• 在一维系统中，热态在所有逆温度β < λ/(2Ω₀)时表现出关联的指数衰减，衰减速率取决于相互作用衰减指数λ。
• 随着相互作用衰减速率增加，关联衰减的温度阈值趋于零，从而在有限范围极限（λ → ∞）下恢复阿良崎原始结果。
• 本结果将二维PEPS的能隙判据推广至指数衰减相互作用，表明若边界态对应于具有此类相互作用的吉布斯态，则母哈密顿量是能隙的。
• 解析条带的宽度及由此产生的关联衰减阈值由相互作用衰减与强度之间的相互作用决定，其中λ与Ω₀为关键参数。
• 该方法依赖于对阿良崎-戴森展开式的精细化使用，结合新局域性估计，避免了在该情境下因技术限制而依赖哈斯廷斯的微扰公式。