[论文解读] Locally analytic vectors in the completed cohomology of quaternionic Shimura curves

Zhenghui Li, Buchin Su+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2026

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一句话总结

论文描述了与 de Rham Galois 表示相关联的局部解析 D_p^×-表示，这些表示出现在四元数 Shimura 曲线的完成共同同调中，借助 Lubin–Tate 塔和 p 进自统一，确立了 GL2(Q_p) 的 Breuil–Strauch 的四元数类似物。

ABSTRACT

We use the methods introduced by Lue Pan to study the locally analytic vectors of the completed cohomology of Shimura curves associated to an indefinite quaternion algebra $D$ which is ramified at a prime number $p$. Let $D_p^{ imes}$ be the group of units of $D$ at $p$. Using $p$-adic uniformization of the quaternionic Shimura curves, we compute the Hecke eigenspace of the completed cohomology with the Hecke eigenvalues associated to a classical automorphic form on another quaternion algebra $\bar D$ (switching invariants of $D$ at $p,\infty$). We present this locally analytic $D_p^ imes$-representation using the de Rham complex of the Lubin-Tate tower of dimension $1$. This is analogous to the Breuil-Strauch conjecture for the group $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$. We show that the locally analytic $D_p^{ imes}$-representation does not detect the Hodge filtration of the local de Rham Galois representation at $p$ in the crystalline case, and also give applications for the locally analytic Jacquet--Langlands correspondence for $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ and $D_p^ imes$.

研究动机与目标

• 给出动机并构建与全局起源相关的 de Rham Galois 表示的局部解析 D_p^×-表示。
• 通过 p 进自统一和 Lubin–Tate 空间描述完成共同同调的结构。
• 建立由 de Rham ρ_p 引起的 D_p^×-表示 τ(ρ_p) 的局部-全局兼容性。
• 探索 τ(ρ_p) 与 GL2(Q_p) 与 D_p^× 的 Jacquet–Langlands 对应之间的关系。
• 给出构造表示的非消失性结果以及可加性、GK-维数等结构性质。

提出的方法

• 使用 Pan 的框架研究四元数 Shimura 曲线完成共同同调中的局部解析向量。
• 应用 p 进自统一将 Shimura 曲线的共同同调与 Lubin–Tate 与 Drinfeld 塔联系起来。
• 通过对 Lubin–Tate 空间的 de Rham 复形构造 τ(ρ_p)，给出 0→τ_p^{⊕2}→˜τ→τ_c→0 的短正合序列及商 τ(ρ_p)。
• 给出一个乘积公式，将 Lubin–Tate 基于的共同同调与在确定四元数代数上的自明同调形式以及 Shimura 集联系起来。
• 证明局部-全球兼容性结果：𝐏𝐢𝐙̌ː(ρ)^{la}≅τ(ρ_p)^{⊕m}，并在 ρ 出现在完成共同同调时进行分析。
• 讨论 Scholze 的 Functor 的后果以及 p 进 Jacquet–Langlands 对应。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够用 Lubin–Tate 共同同调来描述附着于 Gal(Q̄_p/Q_p) 的 HT 权重为 0,1 的 de Rham ρ_p 的局部解析 D_p^×-表示？
• RQ2 完成共同同调的局部解析部分是否实现了 τ(ρ_p) 的四元数类 Breuil–Strauch？
• RQ3 在何种全局条件下 Galois 表示 ρ 会出现在完成共同同调中，以及当 τ_p=0 时 τ(ρ_p) 的行为如何？
• RQ4 τ(ρ_p) 与 D_p^× 的 p 进 Langlands 对应之间的精确局部-全球兼容性是什么？
• RQ5 Lubin–Tate 描述如何与 Scholze 的 Jacquet–Langlands Functor 在将 GL2(Q_p) 与 D_p^× 表示联系起来方面互动？

主要发现

• 完成共同同调中 la 部分与 τ(ρ_p)^{⊕m} 之间存在 D_p^×-等变的拓扑同构。
• 局部解析的 D_p^×-表示 τ(ρ_p) 进入短正合序列 0→τ_p→τ(ρ_p)→τ_c→0，表明 de Rham 数据被包含在与 Lubin–Tate 与 Jacquet–Langlands 数据相关的商中。
• 基于 Lubin–Tate 的表示 τ_c 与 ˜τ 是无限维的，非零的，并且通过与确定四元数代数上的自同调形式的乘积公式，与 Drinfeld/Lubin–Tate 塔相关。
• τ(ρ_p) 可以在 E 上定义，是一个可加的、无限维的局部解析 D_p^×-表示；其结构同时反映了 GL2(Q_p) 与 D_p^× 的 Langlands 方面。
• 即使 Jacquet–Langlands 传递 τ_p 为零，τ(ρ_p) 仍然非平凡，体现了非平凡的 p 进 Jacquet–Langlands 现象。
• 当 ρ_p 为晶格的且 τ_p=0 时，τ(ρ_p) 仍由 Weil–Deligne 表示 r_p 确定，且可能与 Hodge 滤子无关，揭示 p 进 Langlands 对 D_p^× 的新现象。