[论文解读] Locally compact groups whose ergodic or minimal actions are all free

Adrien Le Boudec, Nicolás Matte Bon|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文构造了首个已知的非离散、局部紧致群，其不具有非平凡的不变随机子群（IRS）或均匀重复子群（URS）。通过双逼近技术及在局部域和无限矩阵上的群作用，作者证明了某些分段仿射同胚群与无限矩阵群仅具有平凡的IRS与URS，从而解决了局部紧致情形下关于自由作用的开放问题。

ABSTRACT

We construct locally compact groups with no non-trivial Invariant Random Subgroups and no non-trivial Uniformly Recurrent Subgroups.

研究动机与目标

• 构造不具非平凡不变随机子群（IRS）的非离散、局部紧致群。
• 构造不具非平凡均匀重复子群（URS）的非离散、局部紧致群。
• 解决在离散情形之外此类群存在的开放问题。
• 证明这些群的所有遍历与极小作用本质上是自由的或拓扑自由的。

提出的方法

• 将群构造为 $\mathrm{PL}(\mathbb{Q}_p)$ 的子群，即 $p$-进数域上的分段仿射同胚群。
• 通过嵌套的开子群序列 $G_n$ 与正规紧致子群序列 $U_n$ 实现双逼近，满足 $\bigcap U_n = 1$。
• 应用推论 3.18 与定理 3.24，证明若商群 $G_n/U_n$ 不具非平凡IRS或URS，则群 $G$ 亦然。
• 利用关于 $\mathrm{Alt}_f(\Omega)$ 与 $\mathrm{SL}(d,\mathbb{Q})$（$d \geq 3$）的已知结果，这些群不具非平凡IRS。
• 利用此类群中有限体积子群必满射到商群的性质，从而推出其稠密性，故等于整个群。
• 应用作用与IRS/URS之间的稳定化子对应关系，得出遍历与极小作用的自由性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在非离散、局部紧致群，使得其所有遍历测度保持作用均为本质上自由的？
• RQ2 能否构造出不具非平凡均匀重复子群（URS）的局部紧致群？
• RQ3 是否存在非离散、紧生成的局部紧致群，其不具非平凡IRS或URS？
• RQ4 双逼近技术能否用于构造IRS与URS谱平凡的群？
• RQ5 在树或无限矩阵上作用且具有指定局部作用的群，是否能产生不具非平凡IRS的示例？

主要发现

• 通过双逼近构造的群 $G \leq \mathrm{PL}(\mathbb{Q}_p)$ 不具非平凡IRS，因为所有此类测度均为 $\delta_1$ 与 $\delta_G$ 的凸组合。
• 同一群 $G$ 亦不具非平凡URS，意味着唯一的极小作用为平凡或拓扑自由。
• 对于 $d \geq 3$，群 $\mathrm{PSL}(d,\mathbb{Q})$ 不具非平凡IRS，此事实被用于构造更多示例。
• 群 $G = \langle \mathrm{SL}(\infty,\mathbb{Q}) \cup \prod D_n \rangle$，其中 $D_n \leq \mathrm{SL}(k_n,\mathbb{Q})$，在 $d_n$ 无限次为奇数时，不具非平凡IRS。
• 在所构造群中的任意闭有限体积子群必为稠密，故等于整个群，意味着不存在真有限体积子群。
• 结果确认，所构造群的所有遍历与极小作用分别为本质上自由或拓扑自由。