[论文解读] Locally Decodable/Correctable Codes for Insertions and Deletions

Block, Alexander R., Blocki, Jeremiah+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2019

DNA and Biological Computing参考文献 35被引用 19

一句话总结

该论文通过分析随机插入删除码（insdel codes）的列表可译码性，并构造具有高效译码的显式 q 元 insdel 码，推进了插入删除错误的列表译码理论。研究表明，当插入数量超过删除数量且使用大字母表时，随机 insdel 码可突破 Singleton 界；对于小字母表，建立了类似 Zyablov 的界，使得小 q 情况下（包括二进制码）可实现超越 Johnson 界的高效列表译码。

ABSTRACT

Insdel errors occur in communication systems caused by the loss of positional information of the message. Since the work by Guruswami and Wang, there have been some further investigations on the list decoding of insertion codes, deletion codes and insdel codes. However, unlike classical Hamming metric or even rank-metric, there are still many unsolved problems on list decoding of insdel codes. The contributions of this paper mainly consist of two parts. Firstly, we analyze the list decodability of random insdel codes. We show that list decoding of random insdel codes surpasses the Singleton bound when there are more insertion errors than deletion errors and the alphabet size is sufficiently large. Furthermore, our results reveal the existence of an insdel code that can be list decoded against insdel errors beyond its minimum insdel distance while still having polynomial list size. This provides a more complete picture on the list decodability of insdel codes when both insertion and deletion errors happen. Secondly, we construct a family of explicit insdel codes with efficient list decoding algorithm. As a result, we derive a Zyablov-type bound for insdel errors. Recently, after our results appeared, Guruswami et al. provided a complete solution for another open problem on list decoding of insdel codes. In contrast to the problems we considered, they provided a region containing all possible insertion and deletion errors that are still list decodable by some q-ary insdel codes of non-zero rate. More specifically, for a fixed number of insertion and deletion errors, while our paper focuses on maximizing the rate of a code that is list decodable against that amount of insertion and deletion errors, Guruswami et al. focuses on finding out the existence of a code with asymptotically non-zero rate which is list decodable against this amount of insertion and deletion errors.

研究动机与目标

• 理解随机 insdel 码的列表可译码性，特别是当插入和删除同时发生时的情况。
• 为小字母表大小（包括 q=2）构造具有高效列表译码算法的显式 insdel 码。
• 为 insdel 码推导一个类似 Zyablov 的界，以改进现有的 Johnson 型界。
• 更完整地描绘插入删除度量下的列表可译码性，特别是在插入和删除不平衡的场景下。

提出的方法

• 通过定制的组合界分析插入删除球的大小，以估计随机码的列表可译码性。
• 利用外层列表可恢复码和内层 insdel 码，结合精心设计的索引方案，构建级联码。
• 采用折叠 Reed-Solomon 码作为外码，以实现高码率和受控列表大小的列表可恢复性。
• 使用概率索引方案，通过降低计算复杂度，实现高效的列表译码。
• 通过优化级联构造中的码率与错误分数之间的权衡，推导出类似 Zyablov 的界。
• 应用改进的 Johnson 型界分析，证明小 q 情况下可实现超越经典 Johnson 界的列表可译码性。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机 insdel 码能否在超越 Singleton 界的条件下实现列表可译码？在何种条件下？
• RQ2 是否存在一种构造方法，可为小字母表大小（如 q=2）构建具有高效列表译码的显式 insdel 码？
• RQ3 显式 insdel 码在码率与错误分数方面，所能达到的最大列表译码半径是多少，特别是在插入和删除不平衡时？
• RQ4 随机 insdel 码的列表可译码性与哈明距离或秩度量下的随机码相比如何？
• RQ5 能否为 insdel 码建立一个类似 Zyablov 的界，以改进现有的 Johnson 型界？

主要发现

• 当插入数量超过删除数量且字母表足够大时，随机 insdel 码可在列表可译码性上突破 Singleton 界。
• 随机 insdel 码的列表可译码性揭示了存在可超越其最小 insdel 距离进行列表译码的码，这一现象在哈明码或秩度量码中未被观察到。
• 对于仅存在删除错误的二进制码，其列表译码半径与 Guruswami 和 Wang [13] 的结果一致，验证了与先前工作的兼容性。
• 所构造的显式 q 元 insdel 码实现了超越 Johnson 型界的列表译码半径，尤其在小 q 情况下（包括二进制码）相比先前构造有显著改进。
• 为小字母表上的 insdel 码建立了类似 Zyablov 的界，表明码率为 R 的码可对 τN 个错误实现列表译码，且列表大小为 NO(1/ϵ)，对任意 ϵ>0 成立。
• 译码算法在多项式时间内运行，且该构造在 q=2 时依然有效，为二进制 insdel 码提供了首个具有非平凡列表译码半径的显式构造。