[论文解读] Locally Repairable Codes with Multiple $(r_{i}, \\delta_{i})$-Localities

Bin Chen, Shu‐Tao Xia+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2017

Advanced Data Storage Technologies参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文提出具有多种$(r_i,\delta_i)$-局部性的局部可修复码（LRCs），以提升分布式存储系统中热数据的修复效率。通过将$(r,\delta)$-局部性模型推广至支持不同码符号的多种局部性，作者推导出最小距离的Singleton型上界，并基于Reed-Solomon码的奇偶校验分割技术，提出显式且最优的构造方法，实现了修复局部性与容错能力之间的最优权衡。

ABSTRACT

In distributed storage systems, locally repairable codes (LRCs) are introduced to realize low disk I/O and repair cost. In order to tolerate multiple node failures, the LRCs with \\emph{$(r, \\delta)$-locality} are further proposed. Since hot data is not uncommon in a distributed storage system, both Zeh \\emph{et al.} and Kadhe \\emph{et al.} focus on the LRCs with \\emph{multiple localities or unequal localities} (ML-LRCs) recently, which said that the localities among the code symbols can be different. ML-LRCs are attractive and useful in reducing repair cost for hot data. In this paper, we generalize the ML-LRCs to the $(r,\\delta)$-locality case of multiple node failures, and define an LRC with multiple $(r_{i}, \\delta_{i})_{i\\in [s]}$ localities ($s\\ge 2$), where $r_{1}\\leq r_{2}\\leq\\dots\\leq r_{s}$ and $\\delta_{1}\\geq\\delta_{2}\\geq\\dots\\geq\\delta_{s}\\geq2$. Such codes ensure that some hot data could be repaired more quickly and have better failure-tolerance in certain cases because of relatively smaller $r_{i}$ and larger $\\delta_{i}$. Then, we derive a Singleton-like upper bound on the minimum distance for the proposed LRCs by employing the regenerating-set technique. Finally, we obtain a class of explicit and structured constructions of optimal ML-LRCs, and further extend them to the cases of multiple $(r_{i}, \\delta)_{i\\in [s]}$ localities.

研究动机与目标

• 为解决分布式存储系统中热数据高效修复的需求，通过支持可变修复局部性和故障容错能力。
• 将$(r,\delta)$-局部性模型推广，以支持不同码符号的多种不同$(r_i,\delta_i)$-局部性。
• 为具有多种$(r_i,\delta_i)$-局部性的LRCs推导最小距离的Singleton型上界。
• 利用Reed-Solomon码上的奇偶校验分割技术，构造显式且最优的具有多种$(r_i,\delta_i)$-局部性的LRCs。
• 扩展现有构造方法，以支持不同的$r_i$和$\delta_i$取值，特别是当$r_1 < r_2 < \dots < r_s$且$\delta_1 > \delta_2 > \dots > \delta_s$时。

提出的方法

• 提出一种新型LRC模型，支持多种$(r_i,\delta_i)$-局部性，其中$r_1 \leq r_2 \leq \dots \leq r_s$且$\delta_1 \geq \delta_2 \geq \dots \geq \delta_s \geq 2$，实现不同效率的局部化修复。
• 利用再生集技术推导最小距离的Singleton型上界，推广了先前对ML-LRCs的边界结果。
• 采用受[8]启发的奇偶校验分割技术，构造具有所需局部性特性的Reed-Solomon码的子码。
• 通过将RS码的奇偶校验矩阵按每个局部性组对应块进行划分，构建奇偶校验矩阵$H$，确保每个码符号具有$(r_i,\delta_i)$-局部性。
• 通过设定参数使$\frac{n_s}{r_s + \delta - 1} = \left\lceil \frac{k - \sum_{i\in[s-1]} r_i \frac{n_i}{r_i + \delta - 1}}{r_s} \right\rceil$，确保最优性，与推导出的边界一致。
• 证明所构造的码具有维度$k$，并达到最小距离边界，因此为最优码。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将$(r,\delta)$-局部性模型推广，以在单一码中支持不同码符号的多种不同局部性$(r_i,\delta_i)$？
• RQ2 具有多种$(r_i,\delta_i)$-局部性的LRCs的最小距离，其最紧致的上界是什么？
• RQ3 能否利用已知码族，通过显式且结构化的方法构造出具有多种$(r_i,\delta_i)$-局部性的最优LRCs？
• RQ4 所提出的构造方法如何在支持不同$r_i$和$\delta_i$的同时，保持最优的修复效率和容错能力？
• RQ5 参数$n_i, r_i, \delta_i$需满足何种条件，才能确保所构造码达到推导出的Singleton型边界？

主要发现

• 为具有多种$(r_i,\delta_i)$-局部性的LRCs推导出一个新的Singleton型最小距离上界，推广了先前对ML-LRCs的边界结果。
• 该边界是紧致的，与最优构造的性能一致，确保理论上的最优性。
• 通过在Reed-Solomon码上应用奇偶校验分割技术，显式且结构化地构造出最优LRCs，确保$\text{dim}(\mathcal{C}) = k$，并达到推导出的距离边界。
• 该构造支持多种局部性，且满足$r_1 \leq r_2 \leq \dots \leq r_s$和$\delta_1 = \delta_2 = \dots = \delta_s = \delta$，可高效修复热数据。
• 在条件$\frac{n_s}{r_s + \delta - 1} = \left\lceil \frac{k - \sum_{i\in[s-1]} r_i \frac{n_i}{r_i + \delta - 1}}{r_s} \right\rceil$下，该方法保证最优性，确保最小距离被最大化。
• 该构造在$q > n$时有效，确保有限域大小足够，以保证所需Vandermonde矩阵和奇偶校验结构的存在。