[论文解读] Locally trivial quantum vector bundles and associated vector bundles

Dirk Calow, Rainer Matthes|ArXiv.org|Feb 27, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文建立了一套框架，用于从局部平凡的量子主丛（QPFBs）通过余张量积和微分结构构造局部平凡的量子向量丛（QVBs）及其相关联络。证明了QPFB上的联络与曲率通过与类型$\rho$的水平形式之间的同构，可诱导出相应QVB上的联络与曲率，从而将经典伴随丛理论推广至非交换几何设定。

ABSTRACT

We define locally trivial quantum vector bundles (QVB) and QVB associated to locally trivial quantum principal fibre bundles. There exists a differential structure on the associated vector bundle coming from the differential structure on the principal bundle, which allows to define connections on the associated vector bundle associated to connections on the principal bundle.

研究动机与目标

• 定义并构造与局部平凡量子主丛（QPFBs）相关的局部平凡量子向量丛（QVBs）。
• 从QPFB的微分结构出发，建立QVB上的微分结构。
• 通过从QPFB上的联络拉回的方式，定义QVB上的联络与曲率。
• 证明关联QVB上的微分结构与QPFB上类型$\rho$的水平形式模同构。
• 证明QPFB上的每个左协变导数均唯一诱导出关联QVB上的联络。

提出的方法

• 在具有完备覆盖的代数上定义QVBs，使用局部平凡化和作为向量空间的典型纤维。
• 将关联QVB构造为余张量积$E({\cal P},F) = {\cal P} \square_H F$，其中$H$为结构群的霍普夫代数。
• 通过从QPFB的微分结构$\Gamma_c({\cal P})$诱导出的最大可嵌入LC-微分代数$\Gamma_m(B)$，为关联QVB赋予微分结构。
• 通过$\cal P$上的左协变导数，利用$\epsilon_\Gamma$在$horE({\cal P},F)$与$E_\Gamma({\cal P},F)$之间的同构，将QVB上的联络定义为协变导数。
• 推导联络与曲率的局部表达式：$\nabla_i(\gamma \otimes f) = d\gamma \otimes f - \sum (-1)^n \gamma A_{l_i}(f_{-1}) \otimes f_0$与$\nabla^2_i(\gamma \otimes f) = \sum \gamma F_{l_i}(f_{-1}) \otimes f_0$。
• 证明QVB上诱导的联络满足$\nabla = \epsilon_\Gamma \circ (D_l \otimes \text{id}) \circ \epsilon_\Gamma^{-1}$，从而将其与QPFB的联络联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以类似于经典伴随丛构造的方式定义局部平凡的量子向量丛（QVBs）？
• RQ2 从底层量子主丛的微分结构出发，关联QVB上会生成何种微分结构？
• RQ3 量子主丛上的联络与它的关联量子向量丛上的联络之间有何关系？
• RQ4 能否将QPFB上类型$\rho$的水平形式模与配备其微分结构的关联QVB进行自然同构识别？
• RQ5 从QPFB上的联络诱导出的关联QVB上联络与曲率的显式局部形式为何？

主要发现

• 作为余张量积$E({\cal P},F) = {\cal P} \square_H F$构造的关联QVB是具有从QPFB继承的转移函数的局部平凡QVB。
• 通过$\Gamma_m(B)$在关联QVB上赋予的微分结构，与QPFB上类型$\rho$的水平形式模同构。
• QPFB上的每个左协变导数均通过同构$\epsilon_\Gamma$唯一诱导出关联QVB上的联络。
• 关联QVB上的局部联络由$\nabla_i(\gamma \otimes f) = d\gamma \otimes f - \sum (-1)^n \gamma A_{l_i}(f_{-1}) \otimes f_0$给出，其中$A_{l_i}$为局部联络1-形式。
• 诱导联络的曲率满足$\nabla^2_i(\gamma \otimes f) = \sum \gamma F_{l_i}(f_{-1}) \otimes f_0$，其中$F_{l_i}$为局部曲率2-形式。
• QVB上诱导的联络满足$\nabla = \epsilon_\Gamma \circ (D_l \otimes \text{id}) \circ \epsilon_\Gamma^{-1}$，确保其与QPFB的微分结构相容。