[论文解读] Log canonical models for the moduli space of curves: First divisorial contraction

Brendan Hassett, Donghoon Hyeon|ArXiv.org|Jul 19, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 9

一句话总结

该论文证明了在 $\alpha = 9/11$ 时，稳定曲线模空间 $\mathcal{M}_g$ 的对数极小模型同构于伪稳定曲线的模空间 $\mathcal{M}^\mathrm{ps}_g$，后者参数化仅具有节点和尖点作为奇点的曲线。在 $\alpha = 9/11$ 时的收缩是除子型的，通过将椭圆尾部（在单点处与亏格 $g-1$ 的曲线相连的亏格一曲线）替换为尖点实现，且当 $\alpha \in (7/10, 9/11]$ 时该模型保持不变。这为 $\mathcal{M}_g$ 的对数极小模型程序中的首次关键变化提供了双有理几何实现。

ABSTRACT

In this paper, we initiate our investigation of log canonical models for the moduli space of curves with the boundary divisor $\a \d$ as we decrease $\a$ from 1 to 0. We prove that for the first critical value $\a = 9/11$, the log canonical model is isomorphic to the moduli space of pseudostable curves, which have nodes and cusps as singularities. We also show that $\a = 7/10$ is the next critical value, i.e., the log canonical model stays the same in the interval $(7/10, 9/11]$. In the appendix, we develop a theory of log canonical models of stacks that explains how these can be expressed in terms of the coarse moduli space.

研究动机与目标

• 通过分析当 $\alpha$ 从 1 降至 0 时，对数极小模型 $\mathcal{M}_g(\alpha) = \mathrm{Proj} \bigoplus \Gamma(n(K_{\mathcal{M}_g} + \alpha \delta))$ 的行为，理解稳定曲线模空间 $\mathcal{M}_g$ 的双有理几何。
• 识别对数极小模型发生非平凡双有理变换的首次临界值 $\alpha = 9/11$。
• 建立在 $\alpha = 9/11$ 时得到的模型与仅允许节点和尖点作为奇点的伪稳定曲线模空间 $\mathcal{M}^\mathrm{ps}_g$ 同构。
• 刻画对数极小模型保持不变的区间 $(7/10, 9/11]$，为对数极小模型程序提供一个稳定阶段。
• 在附录中发展堆栈的对数极小模型的一般理论，通过典范除子的拉回，建立其与粗模空间的关系。

提出的方法

• 对 $\alpha = 9/11$ 时的除子 $K_{\mathcal{M}_g} + \alpha \delta$ 应用基点自由定理，证明该线性系统无基点，并诱导到对数极小模型的态射。
• 利用 $\mathcal{M}_g$ 上的交点理论，识别出对应于椭圆尾部的唯一极小射线 $R$——即通过在单个节点处将一个亏格一曲线与一个亏格 $g-1$ 的曲线粘合而成的稳定曲线。
• 构造一个态射 $T: \mathcal{M}_g \to \mathcal{M}^\mathrm{ps}_g$，将每个椭圆尾部替换为一个尖点，证明其在 $\delta_1$ 外是同构，并诱导出在 $\alpha = 9/11$ 时的极小收缩。
• 利用粗模空间的普遍性质，将堆栈上 $\mathcal{O}(n(K_{\mathcal{M}_g} + \alpha \delta))$ 的截面与粗空间上的截面关联，从而实现与 $\mathcal{M}^\mathrm{ps}_g$ 的比较。
• 在附录中发展 Deligne-Mumford 堆栈的对数极小模型的一般理论，证明堆栈的对数极小模型与其中心模空间的对数极小模型之间的关系，通过一个典范除子 $\check{D}$ 建立。
• 利用 $K_{\mathcal{M}_g} + \frac{9}{11}\delta$ 与极小射线 $R$ 的交点为零的事实，证明态射 $T$ 诱导出与 $\alpha = 9/11$ 时对数极小模型相同的收缩。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\alpha \in (0,1]$ 中，稳定曲线模空间的对数极小模型 $\mathcal{M}_g(\alpha)$ 发生非平凡双有理变换的首次临界值是什么？
• RQ2 在 $\alpha = 9/11$ 时，对数极小模型如何与已知的具有奇点的曲线模空间相关联？
• RQ3 $\alpha \in (7/10, 9/11]$ 区间内，对数极小模型 $\mathcal{M}_g(\alpha)$ 的结构是怎样的？
• RQ4 在 $\alpha = 9/11$ 时，对数极小模型能否被实现为具有指定奇点的曲线模空间？
• RQ5 堆栈的对数极小模型与其粗模空间的对数极小模型之间存在何种关系？

主要发现

• 在 $\alpha = 9/11$ 时，对数极小模型 $\mathcal{M}_g(\alpha)$ 同构于伪稳定曲线的模空间 $\mathcal{M}^\mathrm{ps}_g$，后者参数化仅具有节点和尖点作为奇点的连通、非退化曲线。
• 在 $\alpha = 9/11$ 时的收缩是除子型的，例外集位于边界除子 $\Delta_1$ 内，且对应于将椭圆尾部替换为尖点。
• 在 $\alpha = 7/10$ 到 $\alpha = 9/11$ 之间，对数极小模型 $\mathcal{M}_g(\alpha)$ 保持不变，因此对所有 $\alpha \in (7/10, 9/11]$，有 $\mathcal{M}_g(\alpha) \cong \mathcal{M}^\mathrm{ps}_g$。
• 将椭圆尾部替换为尖点的态射 $T: \mathcal{M}_g \to \mathcal{M}^\mathrm{ps}_g$ 诱导出极小收缩 $\Upsilon: \mathcal{M}_g \to \mathcal{M}_g(9/11)$，因此将对数极小模型实现为一个模空间。
• 当 $\alpha \in (7/10, 9/11]$ 时，对数极小模型 $\mathcal{M}_g(\alpha)$ 是 $\mathbb{Q}$-因子化的，因为收缩是除子型的，且目标是射影代数簇。
• 附录中发展的理论表明，具有除子 $D$ 的堆栈 $\mathcal{X}$ 的对数极小模型可通过其粗模空间和一个典范除子 $\check{D}$ 计算得到，后者考虑了堆栈自同构和分支。