[论文解读] Log-singularities for studying capacities of quantum channels

Vikesh Siddhu|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2020

Quantum Information and Cryptography被引用 5

一句话总结

本文引入了对数奇点——即在密度矩阵零本征值附近冯诺依曼熵的对数导数——的概念，用于分析量子信道的相干信息 𝒬⁽¹⁾。通过利用这些奇点，作者展示了量子容量的非加性，并证明了只要输出维数超过环境维数且环境秩与纯态输出的秩相等，则任意噪声信道的 𝒬⁽¹⁾ 均为正，揭示了此前未被注意的信道中出人意料的正性。

ABSTRACT

A small linear increase from zero in some eigenvalue of a density operator makes the derivative of its von-Neumann entropy logarithmic. We call this logarithmic derivative a $\log$-singularity and use it develop methods for checking non-additivity and positivity of the coherent information $\mathcal{Q}^{(1)}$ of a noisy quantum channel. One concrete application of our method leads to a novel type of non-additivity where a zero quantum capacity qubit amplitude damping channel in parallel with a simple qutrit channel is shown to have larger $\mathcal{Q}^{(1)}$ than the sum of $\mathcal{Q}^{(1)}$'s of the two individual channels. Another application shows that any noisy quantum channel has positive $\mathcal{Q}^{(1)}$ if its output dimension is larger than its complementary output (environment) dimension and this environment dimension equals the rank of some output state obtained from a pure input state. Special cases of this result prove $\mathcal{Q}^{(1)}$ is positive for a variety of channels, including the complement of a qubit channel, and a large family of incomplete erasure channels where the positivity of $\mathcal{Q}^{(1)}$ comes as a surprise.

研究动机与目标

• 开发一种基于冯诺依曼熵对数奇点的新分析工具，用于研究量子信道容量。
• 解决长期存在的难题：确定噪声量子信道中单次相干信息 𝒬⁽¹⁾ 的非加性和正性。
• 识别此前未知的情况，即尽管信道具有噪声，当输出维数超过环境维数时，量子信道仍表现出正的 𝒬⁽¹⁾。
• 建立一个普遍条件，使得任意噪声信道均具有正的 𝒬⁽¹⁾，并将已知结果推广至更广泛的信道类别。

提出的方法

• 将对数奇点定义为密度算符在零本征值附近的冯诺依曼熵的对数导数。
• 利用这些对数奇点的行为，分析输入态在小扰动下相干信息 𝒬⁽¹⁾ 的导数。
• 将该方法应用于研究信道的并联组合，特别是比特衰减信道与三态信道的组合，以检测非加性。
• 推导出一个普遍准则：若信道的输出维数超过其互补（环境）维数，且环境秩等于纯态输出的秩，则 𝒬⁽¹⁾ > 0。
• 利用该准则证明了比特信道的互补信道以及一大类不完整擦除信道的 𝒬⁽¹⁾ 为正。
• 利用对数奇点框架检测标准方法失效情况下的非加性，尤其适用于低维和非单位信道。

实验结果

研究问题

• RQ1 对数奇点能否用于检测量子信道单次相干信息的非加性？
• RQ2 在何种条件下，尽管非理想，噪声量子信道仍可具有正的单次相干信息 𝒬⁽¹⁾？
• RQ3 是否存在一个普遍的结构条件，可保证信道的 𝒬⁽¹⁾ 为正，而与具体噪声模型无关？
• RQ4 所提出的方法能否揭示不完整擦除信道或信道互补中 𝒬⁽¹⁾ 的意外正性？
• RQ5 输出维数与环境维数之间的相互作用如何影响信道的相干信息？

主要发现

• 展示了一类新型非加性：一个容量为零的比特衰减信道与一个简单三态信道并联时，其 𝒬⁽¹⁾ 高于各信道单独 𝒬⁽¹⁾ 值之和。
• 只要输出维数超过其互补（环境）系统的维数，且环境秩等于纯态输出的秩，则任意噪声量子信道的 𝒬⁽¹⁾ 均为正。
• 该条件证明了比特信道的互补信道具有正的 𝒬⁽¹⁾，这一结果此前未知且出人意料。
• 该方法揭示了一大类不完整擦除信道——此前被认为 𝒬⁽¹⁾ 为零或负——实际上具有正的单次相干信息。
• 对数奇点框架为在标准分析工具失效的信道中检测非加性和正性提供了系统性方法。
• 结果表明，即使在看似有害的噪声下，量子容量仍可能在输出与环境维数不平衡的信道中出现。