[论文解读] Log-space counter is useful for unary languages by help of a constant-size quantum register

Abuzer Yakaryılmaz|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2013

semigroups and automata theory参考文献 2被引用 5

一句话总结

该论文表明，具有量子与经典态的双态单计数器自动机（2QCCA）可仅使用计数器上的对数空间，借助常数大小的量子寄存器，实现对非正则一元语言的有界误差识别。关键贡献在于证明了量子叠加与测量可使自动机识别出经典自动机在子线性计数器空间下无法识别的语言，如 UPOWER 与 USQUARE。

ABSTRACT

The minimum amount of resources to recognize a nonregular language is a fundamental research topic in theoretical computer science which has been examined for different kinds of resources and many different models. In this note, we focus on unary languages and space complexity on counters. Our model is two-way one-counter automaton with quantum and classical states (2QCCA), which is a two-way finite automaton with one-counter (2DCA) augmented with a fixed size quantum register or a two-way finite automaton with quantum and classical states (2QCFA) augmented with a classical counter. It is known that any 2DCA using a sublinear space on its counter can recognize only regular languages \cite{DG82B}. In this note, we show that bounded-error 2QCCAs can recognize a non-regular unary language by using logarithmic space on its counters for the members. Note that it is still an open problem whether bounded-error 2QCFA can recognize a non-regular unary language.

研究动机与目标

• 探究常数大小的量子寄存器是否能增强经典计数器自动机在处理一元语言时的计算能力。
• 确定在增加量子态后，对数空间计数器是否能实现对非正则一元语言的有界误差识别。
• 探索经典双态单计数器自动机（2DCA）在子线性计数器空间下识别非正则一元语言的局限性。
• 比较 2QCCA 与 2QCFA 及 2PFA 在识别一元非正则语言方面的计算能力。
• 确立通过超算符实现的量子放大可识别 UPOWER 与 USQUARE 等语言，而这些语言无法被经典模型识别。

提出的方法

• 设计一种结合经典双态有限控制、单计数器与常数大小量子寄存器的 2QCCA 模型。
• 在计算过程中使用超算符（广义量子操作）对量子寄存器执行酉演化与投影测量。
• 实现一个名为 POWER 的子程序，利用量子振幅放大技术区分输入中 a 的数量是否为完全幂。
• 将 POWER 子程序迭代应用于输入字符串的前缀，以验证其是否属于 UPOWER = {a^{m^n} | n ≥ 1} 等语言。
• 利用量子测量结果进行概率性接受或拒绝，其中成员的接受概率恰好为 1，非成员的拒绝概率 ≥ 2k²/(2k²+1)。
• 结合四平方定理与量子振幅放大，实现高置信度决策，且误差有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有常数大小量子寄存器的双态单计数器自动机能否仅使用计数器上的对数空间识别非正则一元语言？
• RQ2 增加量子寄存器是否使 2QCCA 超越经典 2DCA 模型的限制，后者在子线性计数器空间下仅能识别正则一元语言？
• RQ3 能否利用量子振幅放大与基于超算符的测量实现对非正则一元语言（如 UPOWER 与 USQUARE）的有界误差识别？
• RQ4 在存在计数器的情况下，2QCCA 与 2QCFA 在识别一元非正则语言时是否存在根本性的计算能力差异？
• RQ5 能否使用对数空间计数器，通过 2QCCA 以有界误差识别出符号数量呈指数或双指数增长的语言（例如 a^{2^{2^n}}）？

主要发现

• 有界误差的 2QCCA 可识别非正则一元语言 UPOWER = {a^{m^n} | n ≥ 1}（其中 m > 2），且仅使用计数器上的对数空间。
• 语言 USQUARE = {a^{n²} | n ≥ 1} 可由 2QCCA 识别，成员的接受概率为 1，非成员的拒绝概率至少为 2k²/(2k²+1)。
• 对于任意输入 w = a^m，计数器值从不超过 log(|w|)，确认了 UPOWER 及相关语言的对数空间复杂度。
• 2QCCA 模型可实现对 POLY(p)、POWER(m) 与 POLY-POWER(p,m) 等语言的有界误差识别，其中 p 为正多项式，m > 2。
• 利用量子超算符，非成员的拒绝概率至少为接受概率的 k² 倍，通过增大 k 可使误差界无限接近于零。
• 所有此类语言均可由 2QCCA 实现成员的精确接受与非成员的高概率拒绝，展现出对经典模型的严格计算优势。