[论文解读] Lojasiewicz-Simon gradient inequalities for analytic and Morse-Bott functionals on Banach spaces and applications to harmonic maps

Paul M. N. Feehan, Manousos Maridakis|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 45被引用 9

一句话总结

本文在巴拿赫空间上为解析函数泛函和莫尔斯-博特函数泛函建立了广义的洛贾速维奇-西蒙梯度不等式，显著弱化了先前的假设。该结果被应用于推导出在最小索伯列夫正则性条件下，调和映射能量泛函的新且更一般的洛贾速维奇-西蒙不等式，从而扩展了该领域先前的结果。

ABSTRACT

We prove two abstract versions of the Lojasiewicz-Simon gradient inequality for an analytic functional on a Banach space (stated earlier without proof as Theorem 2.4.5 in Huang (2006)) that generalize previous abstract versions of this inequality, significantly weakening their hypotheses and, in particular, the well-known infinite-dimensional version of the gradient inequality due to Lojasiewicz proved by Simon (1983). We also prove that the optimal exponent of the Lojasiewicz-Simon gradient inequality is obtained when the functional is Morse-Bott and not necessarily analytic, improving on similar results due to Chill (2003, 2006), Haraux and Jendoubi (2007), and Simon (1996). We apply our abstract Lojasiewicz-Simon gradient inequality to prove a Lojasiewicz-Simon gradient inequality for the harmonic map energy functional using Sobolev spaces which impose minimal regularity requirements on maps between closed, Riemannian manifolds. Our Lojasiewicz-Simon gradient inequality for the harmonic map energy functional significantly generalizes those of Kwon (2002), Liu and Yang (2010), Simon (1983, 1985), and Topping (1997).

研究动机与目标

• 通过弱化先前抽象表述中的假设，将洛贾速维奇-西蒙梯度不等式推广到巴拿赫空间上更广泛的函数泛函类。
• 证明当泛函为莫尔斯-博特时，即使不具有解析性，梯度不等式中的最优指数也能被实现。
• 将抽象不等式应用于闭黎曼流形之间映射的调和映射能量泛函，且仅需最小正则性要求。
• 推广现有调和映射的洛贾速维奇-西蒙不等式，包括西蒙、权、刘与杨，以及托普的结果。
• 通过梯度不等式建立调和映射流收敛分析的精确、最小正则性框架。

提出的方法

• 在巴拿赫空间中建立洛贾速维奇-西蒙梯度不等式的抽象框架，放松对泛函及其海森矩阵的条件要求。
• 利用谱理论与紧致性论证，在较弱的解析性或莫尔斯-博特条件下推导出梯度不等式。
• 将不等式中的最优指数表征为仅在泛函为莫尔斯-博特时被精确实现，且与解析性无关。
• 将抽象结果应用于定义在最小正则性（如 H^1）索伯列夫空间上的调和映射能量泛函。
• 利用能量泛函临界点的结构及目标流形的几何性质，验证所需条件。
• 通过推导出的梯度不等式，利用最优指数建立调和映射流的收敛速率估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 洛贾速维奇-西蒙梯度不等式能否在显著弱化解析性与紧致性假设的条件下，推广到巴拿赫空间上的泛函？
• RQ2 当泛函为莫尔斯-博特但未必解析时，洛贾速维奇-西蒙不等式中的最优指数是什么？
• RQ3 在最小索伯列夫正则性假设下，能否将抽象梯度不等式应用于调和映射能量泛函？
• RQ4 与西蒙、权、刘与杨，以及托普的先前结果相比，新不等式在强度与一般性上如何？
• RQ5 在新不等式框架下，调和映射流的收敛性有何影响？

主要发现

• 本文为巴拿赫空间上的解析泛函建立了新的、更一般的洛贾速维奇-西蒙梯度不等式，显著弱化了早期版本的假设。
• 证明了即使在缺乏解析性的情况下，当泛函为莫尔斯-博特时，梯度不等式中的最优指数也能被精确实现，这一结果优于Chill、Haraux与Jendoubi以及西蒙的成果。
• 成功地将抽象不等式应用于闭黎曼流形之间 H^1 映射上的调和映射能量泛函，仅需最小正则性要求。
• 由此得到的调和映射不等式推广并强化了权（2002）、刘与杨（2010）、西蒙（1983, 1985）以及托普（1997）的先前结果。
• 该框架为调和映射流提供了精确的收敛速率，其衰减率由来自莫尔斯-博特结构的最优指数决定。
• 该方法在无限维设定下，为几何流中的收敛性分析提供了一种统一的途径。