[论文解读] Long $n$-zero-free sequences in finite cyclic groups

Svetoslav Savchev, Fang Chen|ArXiv.org|Apr 16, 2006

Limits and Structures in Graph Theory被引用 6

一句话总结

本文刻画了循环群 $\mathbb{Z}_n$ 中长度大于 $3n/2 - 1$ 的 $n$-零自由序列，表明它们恰好是那些与两个序列 $\alpha$ 和 $\beta$ 的并集相似的序列，其中 $L(\alpha) < n$ 且 $L(1 - \beta) < n$。该刻画给出了项重数的最优下界，并在广泛参数范围内确定了与 Erdős–Ginzburg–Ziv 定理相关函数的取值。

ABSTRACT

A sequence in the additive group ${\mathbb Z}_n$ of integers modulo $n$ is called $n$-zero-free if it does not contain subsequences with length $n$ and sum zero. The article characterizes the $n$-zero-free sequences in ${\mathbb Z}_n$ of length greater than $3n/2-1$. The structure of these sequences is completely determined, which generalizes a number of previously known facts. The characterization cannot be extended in the same form to shorter sequence lengths. Consequences of the main result are best possible lower bounds for the maximum multiplicity of a term in an $n$-zero-free sequence of any given length greater than $3n/2-1$ in ${\mathbb Z}_n$, and also for the combined multiplicity of the two most repeated terms. Yet another application is finding the values in a certain range of a function related to the classic theorem of Erdős, Ginzburg and Ziv.

研究动机与目标

• 刻画长度大于 $3n/2 - 1$ 的 $\mathbb{Z}_n$ 中 $n$-零自由序列的仿射等价类。
• 将关于长度为 $2n-2$ 和 $2n-3$ 的 $n$-零自由序列的先前结果推广到更长的长度范围。
• 推导出此类序列中单个项最大重数以及两个最频繁项总重数的最佳可能下界。
• 确定函数 $g(n,k)$ 在 $4 \leq k \leq \sqrt{2n-1}+1$ 范围内的取值，该函数控制着在具有 $k$ 个不同项的序列中保证存在一个 $n$-项零和子序列的最小长度。

提出的方法

• 该刻画依赖于文献 [10] 中关于 $\mathbb{Z}_n$ 中长度大于 $n/2$ 的零自由序列的关键结构性结果。
• 通过仿射变换和重排下的相似性对序列进行分析，以对 $n$-零自由序列进行分类。
• 证明使用最小正代表元之和 $L(\alpha)$ 和 $L(1 - \beta)$ 来定义序列的规范形式。
• 从 $L(\alpha)$ 和 $L(1 - \beta)$ 的界推导出包含 $x^2/2$ 和 $y^2/2$ 项的不等式，从而得出不同项数的二次界。
• 该方法应用抽屉原理和极值组合学，证明当 $\ell > n/2$ 时，长度为 $n - 1 + \ell$ 且具有 $k$ 个不同项的序列，若 $k$ 超过某个阈值则不可能存在。
• 通过构造具有 $k$ 个不同项的 $n$-零自由序列并证明任何更长的序列都必须包含一个 $n$-项零和子序列，来分析函数 $g(n,k)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 长度大于 $3n/2 - 1$ 的 $\mathbb{Z}_n$ 中 $n$-零自由序列的完整结构是什么？
• RQ2 是否可以将 $n$-零自由序列的刻画形式扩展到与长序列相同的形式，但适用于更短的长度？
• RQ3 对于长度为 $n - 1 + k$ 且满足 $n/2 < k < n$ 的 $n$-零自由序列，单个项最大重数的最佳可能下界是什么？
• RQ4 函数 $g(n,k)$（即保证在具有 $k$ 个不同项的序列中存在一个 $n$-项零和子序列的最小长度）在 $k \leq \sqrt{2n - 1} + 1$ 时的取值是什么？

主要发现

• 所有长度大于 $3n/2 - 1$ 的 $\mathbb{Z}_n$ 中 $n$-零自由序列都与满足 $L(\alpha) < n$ 和 $L(1 - \beta) < n$ 的序列 $\alpha \cup \beta$ 相似，且该刻画是最优的，无法进一步推广至更短长度。
• 对于长度为 $n - 1 + k$ 且满足 $n/2 < k < n$ 的序列，任意项的最大重数至少为 $k + 1$，且该下界是最佳的。
• 此类序列中两个最频繁项的总重数至少为 $2k$，且该下界也是最佳的。
• 函数 $g(n,k)$（表示具有 $k$ 个不同项的序列中保证存在一个 $n$-项零和子序列的最小长度）在 $4 \leq k \leq \sqrt{2n - 1} + 1$ 范围内满足 $g(n,k) = 2n - 1 - \left\lfloor \left(\frac{k-1}{2}\right)^2 \right\rfloor$，将先前结果扩展到了更广的范围。
• $g(n,k)$ 的下界构造使用了关于零点对称的项分布序列，且通过 $L(\alpha)$ 和 $L(1 - \beta)$ 的和条件证明了这些序列是 $n$-零自由的。
• 证明表明，任何长度为 $n - 1 + \ell$ 且满足 $\ell > n/2$ 的 $n$-零自由序列，若 $\ell = n - \left\lfloor \left(\frac{k-1}{2}\right)^2 \right\rfloor$，则其不同项数至多为 $k - 1$，这蕴含了 $g(n,k)$ 的上界。