[论文解读] Long-range interacting classical systems: universality in mixing weakening

Alessandro Campa, Andrea Giansanti+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2000

Statistical Mechanics and Entropy被引用 30

一句话总结

本论文通过在 $d=2$ 和 $3$ 维的惯性 $XY$ 模型中进行分子动力学模拟，研究了长程相互作用经典系统中的动力混沌。结果表明，归一化的最大李雅普诺夫指数随 $N$ 以 $N^{-\kappa}$ 的形式衰减，其中 $\kappa$ 是 $\alpha/d$ 的普适函数，当 $\alpha/d$ 从 0 增加到 1 时，$\kappa$ 从 $1/3$ 单调递减至零，与非广延统计力学一致，表明在非广延区域中系统的混合性普遍减弱。

ABSTRACT

Through molecular dynamics, we study the $d=2,3$ classical model of $N$ coupled rotators (inertial XY model) assuming a coupling constant which decays with distance as $r_{ij}^{-α}$ ($α\ge 0$). The total energy $$ is asymptotically $\propto N { ilde N}$ with ${ ilde N} \equiv [N^{1-α/d}-(α/d)]/[1-α/d]$, hence the model is thermodynamically extensive if $α/d>1$ and nonextensive otherwise. We numerically show that, for energies above some threshold, the (appropriately scaled) maximum Lyapunov exponent is $\propto N^{-κ}$ where $κ$ is an {\it universal} (one and the same for $d=1,2$ and 3, and all energies) function of $α/d$, which monotonically decreases from 1/3 to zero when $α/d$ increases from 0 to 1, and identically vanishes above 1. These features are consistent with the nonextensive statistical mechanics scenario, where thermodynamic extensivity is associated with {\it exponential} mixing in phase space, whereas {\it weaker} (possibly {\it power-law} in the present case) mixing emerges at the $N o \infty$ limit whenever nonextensivity is observed.

研究动机与目标

• 研究长程相互作用经典系统中动力混沌对系统尺寸的依赖关系。
• 检验最大李雅普诺夫指数的标度指数 $\kappa$ 是否在不同维度和能量下具有普适性。
• 探讨哈密顿系统中 $r^{-\alpha}$ 相互作用下非广延性与混合性减弱之间的联系。
• 验证假设：$\kappa$ 仅依赖于 $\alpha/d$，而不依赖于维度 $d$ 或能量密度 $U$，在临界能量阈值以上。

提出的方法

• 在 $d=2$ 和 $d=3$ 晶格中对 $N$ 个耦合转子进行分子动力学模拟，其相互作用为 $r_{ij}^{-\alpha}$。
• 通过 $\tilde{N} = [N^{1-\alpha/d} - (\alpha/d)] / [1 - \alpha/d]$ 对哈密顿量进行重标度，以确保在非广延区域的热力学广延性。
• 计算并归一化最大李雅普诺夫指数 $\lambda_{\text{max}}'$，通过 $\lambda_{\text{max}}' \propto N^{-\kappa}$ 研究其与 $N$ 的依赖关系。
• 模拟采用速度-Verlet积分方法，能量守恒优于 $10^{-4}$，初始条件为随机角度和动量，经调整使总动量为零且能量固定。
• 通过 $\lambda_{\text{max}}'$ 与 $N$ 的双对数图提取 $\kappa$，并利用 $\alpha/d$ 比值在不同维度间实现数据收敛。
• 采用启发式拟合公式 $\kappa = [1 - (\alpha/d)^2] / [3 + (\alpha/d)^2/2]$ 描述普适的 $\kappa(\alpha/d)$ 函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 归一化最大李雅普诺夫指数的标度指数 $\kappa$ 是否仅依赖于 $\alpha/d$，而与空间维度 $d$ 无关？
• RQ2 在临界阈值以上的不同能量密度下，最大李雅普诺夫指数的 $N$-依赖性是否具有普适性？
• RQ3 长程相互作用系统中混合性的减弱如何与统计力学中的非广延性相关联？
• RQ4 所观测到的 $\kappa(\alpha/d)$ 函数是否可推广至其他具有 $1/r^\alpha$ 相互作用的古典系统？

主要发现

• 在高于某一阈值的能量下，归一化最大李雅普诺夫指数满足 $\lambda_{\text{max}}' \propto N^{-\kappa}$，且 $\kappa$ 仅依赖于 $\alpha/d$。
• 当 $\alpha/d < 1$ 时，$\kappa$ 从 $\alpha/d = 0$ 处的 $1/3$ 单调递减至 $\alpha/d = 1$ 处的零，表明系统尺寸增大时混沌性减弱。
• $\kappa(\alpha/d)$ 函数在 $d=1,2,3$ 中具有普适性，当按 $\alpha/d$ 绘制时，所有数据点均收敛于同一曲线。
• 当 $\alpha/d > 1$ 时，$\kappa(\alpha/d)$ 函数恒为零，与指数混合和广延热力学一致。
• 该标度关系在不同能量密度下均成立，$\alpha=0.8$，$d=2$ 时，$U=5$ 和 $U=8$ 处的 $\kappa$ 值相同。
• 所观测到的 $\kappa(\alpha/d)$ 函数与非广延统计力学的预测一致，将弱混合性与非广延性联系起来。