[论文解读] Long-range percolation in R^d

Béla Bollobás, Svante Janson+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2005

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 3

一句话总结

本文研究了在 Z^d 和 R^d 上的长程渗透模型，其中距离在 r 以内的点对以概率 p 独立连接。利用关于非均匀随机图的一般结果，证明了当 r → ∞ 时，渗透阈值与临界 branching 过程阈值收敛，意味着在渗透阈值处的平均度趋于 1。

ABSTRACT

Let X be either Z d or the points of a Poisson process in R d of intensity 1. Given parameters r and p, join each pair of points of X within distance r independently with probability p. This is the simplest case of a ‘spreadout’ percolation model studied by Penrose [6], who showed that, as r → ∞, the average degree of the corresponding random graph at the percolation threshold tends to 1, i.e., the percolation threshold and the threshold for criticality of the naturally associated branching process approach one another. Here we show that this result follows immediately from of a general result of [3] on inhomogeneous random graphs.

研究动机与目标

• 理解在 d 维空间中长程渗透模型的行为。
• 研究在扩展模型中，渗透阈值与临界 branching 过程之间的关系。
• 证明当范围 r 增大时，渗透阈值处的平均度趋于 1。

提出的方法

• 将系统建模为随机图，其中 Z^d 中的点或 R^d 中的泊松过程中的点若距离在 r 以内，则以概率 p 连接。
• 应用参考文献 [3] 中关于非均匀随机图的一般结果，分析系统的临界行为。
• 使用当 r → ∞ 时的渐近分析，研究在渗透阈值处平均度的极限行为。
• 将渗透阈值与相关 branching 过程的临界性阈值联系起来。
• 利用扩展渗透模型的结构，连接图论性质与 branching 过程的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Z^d 和 R^d 上的长程渗透中，当范围 r → ∞ 时，渗透阈值的行为如何？
• RQ2 在扩展模型中，渗透阈值与相关 branching 过程的临界性阈值之间存在何种关系？
• RQ3 当 r 增大时，渗透阈值处的平均度是否收敛于 1？

主要发现

• 当 r → ∞ 时，随机图在渗透阈值处的平均度趋于 1。
• 在极限 r → ∞ 下，渗透阈值与相关 branching 过程的临界性阈值收敛。
• 该收敛结果直接源于关于非均匀随机图的一般定理。
• 该结果证实了 Penrose 早期工作的启发性预期，现通过已建立的图论工具严格推导得出。
• 该分析在 R^d 中基于晶格和连续点过程的情况下均适用。