[论文解读] Long time behavior of solutions of Fisher-KPP equation with advection and free boundaries

Hong Gu, Bendong Lou+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2015

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 19被引用 8

一句话总结

本文研究了带有对流项和自由边界的Fisher-KPP方程解的长时间行为，建模了对流环境中种群的扩散。研究识别出关键阈值 β* 和 c₀—其中 c₀ 为最小行波速度—根据对流系数 β 和初始种群大小 σ，决定了解的扩散、灭绝或‘虚拟扩散’行为。

ABSTRACT

We consider Fisher-KPP equation with advection: $u_t=u_{xx}-βu_x+f(u)$ for $x\in (g(t),h(t))$, where $g(t)$ and $h(t)$ are two free boundaries satisfying Stefan conditions. This equation is used to describe the population dynamics in advective environments. We study the influence of the advection coefficient $-β$ on the long time behavior of the solutions. We find two parameters $c_0$ and $β^*$ with $β^*>c_0>0$ which play key roles in the dynamics, here $c_0$ is the minimal speed of the traveling waves of Fisher-KPP equation. More precisely, by studying a family of the initial data $\{ σϕ\}_{σ>0}$ (where $ϕ$ is some compactly supported positive function), we show that, (1) in case $β\in (0,c_0)$, there exists $σ^*\geqslant0$ such that spreading happens when $σ> σ^*$ and vanishing happens when $σ\in (0,σ^*]$; (2) in case $β\in (c_0,β^*)$, there exists $σ^*>0$ such that virtual spreading happens when $σ>σ^*$ (i.e., $u(t,\cdot;σϕ) o 0$ locally uniformly in $[g(t),\infty)$ and $u(t,\cdot + ct;σϕ) o 1$ locally uniformly in $\R$ for some $c>β-c_0$), vanishing happens when $σ\in (0,σ^*)$, and in the transition case $σ=σ^*$, $u(t, \cdot+o(t);σϕ) o V^*(\cdot-(β-c_0)t )$ uniformly, the latter is a traveling wave with a "big head" near the free boundary $x=(β-c_0)t$ and with an infinite long "tail" on the left; (3) in case $β= c_0$, there exists $σ^*>0$ such that virtual spreading happens when $σ> σ^*$ and $u(t,\cdot;σϕ) o 0$ uniformly in $[g(t),h(t)]$ when $σ\in (0,σ^*]$; (4) in case $β\geqslant β^*$, vanishing happens for any solution.

研究动机与目标

• 理解对流（由 β 模型化）如何影响具有自由边界的移动栖息地中种群的长期动态。
• 确定在存在对流时，解发生扩散、灭绝或虚拟扩散的条件。
• 识别控制不同长期行为之间转变的关键阈值 β* 和 c₀。
• 分析过渡区域中解的渐近轮廓，特别是靠近临界值 β = c₀ 和 β = β* 时的情形。
• 将先前关于无对流Fisher-KPP方程的研究结果扩展到具有空间对流和自由边界动力学的情形。

提出的方法

• 分析带有对流的Fisher-KPP方程的自由边界问题：$ u_t = u_{xx} - \beta u_x + f(u) $，其中 $ f $ 满足单稳态条件。
• 使用具有紧支集的一族初始数据 $ \sigma\phi $ 来研究初始种群大小 σ 的依赖性。
• 应用比较原理，并利用行波轮廓 $ W_\delta $ 和 $ V^* $ 构造次解和超解。
• 通过在解上构造时移行波并使用反证法，推导出渐近行为。
• 通过Stefan型条件分析自由边界 $ g(t) $ 和 $ h(t) $ 的运动：$ g'(t) = -\mu u_x(t,g(t)) $，$ h'(t) = -\mu u_x(t,h(t)) $。
• 利用先前关于非对流情形下传播速度 $ c^* $ 和渐近轮廓的已知结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对流系数 β 如何影响带有自由边界的Fisher-KPP方程解的长时间行为？
• RQ2 决定扩散、灭绝和虚拟扩散之间转变的关键阈值 β* 和 c₀ 是什么？
• RQ3 当 β = c₀ 或 β ∈ (c₀, β*) 时，解的渐近轮廓是什么？
• RQ4 初始种群大小 σ 如何影响结果——扩散、灭绝或虚拟扩散？
• RQ5 当 β ∈ (c₀, β*) 时，σ = σ* 的过渡情形下解会发生什么？

主要发现

• 对于 β ∈ (0, c₀)，若 σ > σ*，则发生扩散；若 σ ≤ σ*，则发生灭绝。
• 对于 β ∈ (c₀, β*)，若 σ > σ*，则发生虚拟扩散；若 σ < σ*，则发生灭绝；在 σ = σ* 时，形成具有‘大头部’和无限尾部的行波。
• 对于 β = c₀，若 σ > σ*，则发生虚拟扩散；若 σ ≤ σ*，则发生灭绝。
• 对于 β ≥ β*，对所有初始数据均发生灭绝，与 σ 无关。
• 临界值 β* > c₀，其中 c₀ 为非对流情形下行波的最小速度。
• 在虚拟扩散区域中，解收敛于以速度 β − c₀ 移动的行波 $ V^* $，在自由边界附近具有局域化的‘大头部’，并在左侧具有长尾。