[论文解读] Long time behaviour and turnpike solutions in mildly non-monotone mean field games

Marco Cirant, Alessio Porretta|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2021

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文在哈密顿函数具有局部一致强凸性及附加噪声的条件下，建立了温和非单调均场博弈系统的适定性与长时间行为。证明了折返性（turnpike）性质、向遍历解的收敛性以及无折现极限，且无需耦合函数的单调性，而是依赖于扩散引起的正则化来补偿弱反单调性。

ABSTRACT

We consider mean field game systems in time-horizon $(0,T)$, where the individual cost functional depends locally on the density distribution of the agents, and the Hamiltonian is locally uniformly convex. We show that, even if the coupling cost functions are mildly non-monotone, then the system is still well posed due to the effect of individual noise. The rate of anti-monotonicity (i.e. the aggregation rate of the cost functions) which can be afforded depends on the intensity of the diffusion and on global bounds of solutions. We give applications to either the case of globally Lipschitz Hamiltonians or the case of quadratic Hamiltonians and couplings having mild growth. Under similar conditions, we investigate the long time behavior of solutions and we give a complete description of the ergodic and long term properties of the system. In particular we prove: (i) the turnpike property of solutions in the finite (long) horizon $(0,T)$, (ii) the convergence of the system in $(0,T)$ towards the system in $(0,\infty)$, (iii) the vanishing discount limit of the infinite horizon problem and the long time convergence towards the ergodic stationary solution. This way we extend previous results which were known only for the case of monotone and smoothing couplings; our approach is self-contained and does not need the use of the linearized system or of the master equation.

研究动机与目标

• 将均场博弈理论扩展至非单调耦合函数的情形，此类函数通常被要求以保证唯一性与稳定性。
• 研究个体噪声（扩散）是否能够补偿成本函数中的轻微反单调性。
• 在有限与无限时域设定下，建立折返性性质与长时间收敛至遍历解的行为。
• 提供一个不依赖线性化系统或主方程框架的自洽分析。
• 将先前关于长时间行为的结果推广至非单调、局部利普希茨连续或二次型哈密顿函数，且耦合项具有轻微增长的情形。

提出的方法

• 分析定义在环面 $\mathbb{T}^d$ 上的前向-后向PDE系统，该系统耦合了一个哈密顿-雅可比-贝尔曼方程与一个福克-普朗克方程。
• 利用哈密顿函数的局部一致强凸性及解的全局有界性，控制反单调性的影响。
• 应用能量估计与格朗沃尔型不等式，推导出密度与值函数差的 $L^2$-范数界。
• 采用杜哈梅尔原理与卷积估计处理福克-普朗克方程，以控制解的正则性与可积性。
• 使用带指数权重的加权 $L^2$-估计，分析无折现极限与长时间收敛性。
• 应用福克-普朗克方程的正则性引理，将密度的 $L^{p'}$-范数以漂移项与初始数据表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 当耦合函数为轻微非单调时，均场博弈系统是否仍保持适定性？
• RQ2 在扩散作用下，成本函数中的反单调性可被容忍到何种程度？
• RQ3 在具有非单调耦合的有限时域均场博弈中，折返性是否成立？
• RQ4 当 $T \to \infty$ 时，解的长时间行为如何，尤其是在缺乏单调性的情况下？
• RQ5 对于具有非单调耦合的无限时域问题，无折现极限行为如何？

主要发现

• 只要扩散强度与解的有界性足够强，可抵消反单调性，系统即使在耦合成本函数轻微非单调时仍保持适定性。
• 在有限时域问题中，折返性成立：解在大部分时间区间内保持接近遍历稳态解。
• 在相同条件下，当 $T \to \infty$ 时，解收敛至遍历稳态解。
• 即使不具单调性，无限时域问题的无折现极限仍收敛至遍历解。
• 结果对全局利普希茨连续哈密顿函数与具有轻微增长耦合项的二次型哈密顿函数均成立。
• 分析过程自洽，无需使用主方程或线性化系统框架。