[论文解读] Long-time homogenization and asymptotic ballistic transport of classical waves

Antoine Benoît, Antoine Gloria|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 30被引用 23

一句话总结

本论文为非周期性、准周期性或随机对称椭圆系数构建了形式化的Taylor-Bloch波框架，引入扩展校正项以量化均质化误差与输运特性。该研究建立了低能下的渐近弹道波输运，并为高阶均质化波方程提供了长时间尺度下的精确均质化估计。

ABSTRACT

Consider an elliptic operator in divergence form with symmetric coefficients.If the diffusion coefficients are periodic, the Bloch theorem allows one to diagonalize the elliptic operator, which is key to the spectral properties of the elliptic operator and the usual starting point for the study of its long-time homogenization.When the coefficients are not periodic (say, quasi-periodic, almost periodic, or random with decaying correlations at infinity), the Bloch theorem does not hold and both the spectral properties and the long-time behavior of the associatedoperator are unclear.At low frequencies, we may however consider a formal Taylor expansion of Bloch waves (whether they exist or not) based on correctors in elliptic homogenization.The associated Taylor-Bloch waves diagonalize the elliptic operator up to an error term (an "eigendefect"), which we express with the help of a new family of extended correctors.We use the Taylor-Bloch waves with eigendefects to quantify the transport properties and homogenization error over large timesfor the wave equation in terms of the spatial growth of these extended correctors.On the one hand, this quantifies the validity of homogenization over large times (both for the standard homogenized equation and higher-order versions).On the other hand, this allows us to prove asymptotic ballistic transport of classical waves at low energies for almost periodic and random operators.

研究动机与目标

• 解决经典波方程在非周期系数（准周期、几乎周期或随机）下谱性质与长时间行为理解不足的问题。
• 通过基于椭圆校正项的Bloch波泰勒展开，将Bloch波形式化方法拓展至周期性介质之外。
• 利用扩展校正项的空间增长速率，量化长时间尺度下的均质化误差与输运特性。
• 在几乎周期与随机介质中，证明经典波在低能下渐近弹道输运的成立。
• 建立高阶均质化波方程，并在长时间尺度下给出精确的误差估计。

提出的方法

• 将Taylor-Bloch波定义为椭圆算子的近似本征函数，其本征缺陷项源于非周期性。
• 引入一类新的扩展校正项以表达本征缺陷，从而实现对波方程近似误差的控制。
• 利用Taylor-Bloch展开构造波方程的近似解，并通过扩展校正项的空间增长获得误差界。
• 将该方法应用于高阶均质化波方程，证明在长时间尺度下收敛误差可达$\varepsilon^2$量级。
• 采用定量遍历性假设——对几乎周期场使用$\rho_*$，对高斯随机场使用对数Sobolev不等式——以控制校正项的增长。
• 在不同系数结构（周期、准周期、几乎周期、相关性衰减的随机）下，推导扩展校正项的矩估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bloch波形式化方法能否拓展至几乎周期或随机系数场等非周期性介质？
• RQ2 如何利用扩展校正项量化并控制Taylor-Bloch近似中的本征缺陷？
• RQ3 非周期性系数下波方程的长时间均质化误差界为何？
• RQ4 在何种条件下，经典波在非周期性介质中会呈现渐近弹道输运？
• RQ5 高阶均质化波方程如何在长时间尺度下提升对原始波解的逼近精度？

主要发现

• 对于满足$\rho_*(\boldsymbol{a}, R) \leq K R^{-\delta}$的几乎周期系数，扩展校正项的增长率为$\nu_{\delta,j}(|x|)$，其中$\nu_{\delta,j}(t)$依$j$与$\delta$分段定义为$1$、$\log(2+t)^{1/2}$或$t^{j-\delta}$。
• 对于协方差衰减为$|c(x)| \lesssim (1+|x|)^{-\beta}$的高斯随机系数，扩展校正项的$L^2$-矩按$1$、$\log^{1/2}(2+|x|)$、$\log(2+|x|)$或$1+|x|^{1-\beta/(2j)}$增长，具体取决于$d$、$j$与$\beta$。
• 波方程的均质化误差由扩展校正项的空间增长决定，从而实现对高阶均质化方程误差界至$\varepsilon^2$量级的控制。
• 在所述遍历性与衰减假设下，证明了在几乎周期与随机介质中，经典波在低能下呈现渐近弹道输运。
• 该方法为非周期性介质中的长时间均质化提供了严格依据，将经典结果从周期情形推广至更广范围。
• 该框架适用于局域时间与时变源项，且可扩展至波方程组。