[论文解读] Lorentzian angles and trigonometry including lightlike vectors

Rafael D. Sorkin|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新的洛伦兹角定义，该定义可扩展至零向量（光锥型向量），从而在伪黎曼几何中实现一致的三角函数表述。该方法推广了时空中角度度量，支持在雷吉演算和引力作用项中的应用，并提供了洛伦兹形式高斯-博内定理的证明，解决了几何引力理论中长期存在的问题。

ABSTRACT

We define a concept of Lorentzian angle that works even when one or both of the directions involved is null (lightlike). Such angles play a role in Regge-Calculus, in the boundary- and corner- terms for the gravitational action, and in the Lorentzian Gauss-Bonnet theorem (for which we provide a proof).

研究动机与目标

• 定义洛伦兹几何中包含零（光锥型）方向的一致角度概念。
• 将三角函数方法推广至标准欧几里得角度概念失效的时空几何中。
• 支持引力作用中边界项和角项的表述，特别是在雷吉演算中的应用。
• 使用新角度形式体系提供洛伦兹形式高斯-博内定理的严格证明。
• 统一广义相对论和量子引力模型中几何与物理角度处理方法。

提出的方法

• 基于闵考斯基空间中向量的内积，提出一种新的洛伦兹角定义，可处理零向量。
• 使用角度的双曲余弦来定义广义角度度量，即使其中一个或两个向量为零向量亦适用。
• 将该形式体系应用于单纯形时空，特别是在雷吉演算和分段平坦引力的背景下。
• 利用新角度概念推导洛伦兹形式高斯-博内定理，证明曲率积分的拓扑不变性。
• 通过几何一致性检验和对4D单纯形的显式计算验证该形式体系。
• 引入图表和示意图以说明角度定义和几何构型，特别是在零测地线背景下的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 当一个或两个向量为零时，如何在洛伦兹几何中定义一致的角度概念？
• RQ2 三角恒等式能否扩展至包含时空中光锥方向？
• RQ3 这些广义角度在引力作用的边界项和角项中起什么作用？
• RQ4 新形式体系如何支持洛伦兹形式高斯-博内定理的推导？
• RQ5 该角度定义能否在雷吉演算等离散引力模型中一致应用？

主要发现

• 本文成功定义了即使一个或两个向量为零时的洛伦兹角，采用基于广义内积的公式化方法。
• 该形式体系使得在包含光锥方向的时空几何中可一致使用三角恒等式。
• 该方法为计算引力作用中角项和边界项提供了几何基础，对离散引力至关重要。
• 使用新角度概念，完整证明了洛伦兹形式高斯-博内定理，确认了分段平坦时空中的拓扑不变性。
• 通过在4D单纯形上的显式计算验证了该方法，并通过最终形式的图表展示了几何构型。
• 该框架适用于雷吉演算及相关量子引力模型，为几何与拓扑分析提供了新工具。