[论文解读] Low degree almost Boolean functions are sparse juntas

Irit Dinur, Yuval Filmus+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文引入了稀疏junta——一类广义化的junta函数的新类别——用于表征$p$-偏差超立方体上的低次几乎布尔函数。通过使用局部到全局的一致性定理，作者证明此类函数接近于稀疏junta，从而扩展了先前结果，并由此推导出偏差与大偏差界限。

ABSTRACT

Nisan and Szegedy showed that low degree Boolean functions are juntas. Kindler and Safra showed that low degree functions which are almost Boolean are close to juntas. Their result holds with respect to $\mu_p$ for every constant $p$. When $p$ is allowed to be very small, new phenomena emerge. For example, the function $y_1 + \cdots + y_{\epsilon/p}$ (where $y_i \in \{0,1\}$) is close to Boolean but not close to a junta. We show that low degree functions which are almost Boolean are close to a new class of functions which we call *sparse juntas*. Roughly speaking, these are functions which on a random input look like juntas, in the sense that only a finite number of their monomials are non-zero. This extends a result of the second author for the degree 1 case. As applications of our result, we show that low degree almost Boolean functions must be very biased, and satisfy a large deviation bound. An interesting aspect of our proof is that it relies on a local-to-global agreement theorem. We cover the $p$-biased hypercube by many smaller dimensional copies of the uniform hypercube, and approximate our function locally via the Kindler--Safra theorem for constant $p$. We then stitch the local approximations together into one global function that is a sparse junta.

研究动机与目标

• 为解决当$p$较小时传统junta无法捕捉低次几乎布尔函数的问题。
• 识别一类新函数——稀疏junta——以更好地表征在$\mu_p$下$p$较小时的此类函数。
• 将Kindler–Safra定理扩展至$p$-偏差情形，特别是在标准junta逼近失效的$p$较小时。
• 为低次几乎布尔函数建立偏差与大偏离的定量界限。

提出的方法

• 将$p$-偏差超立方体覆盖为更小维度的均匀超立方体，以支持局部分析。
• 在每个小超立方体上局部应用Kindler–Safra定理，以在常数$p$情形下用junta逼近函数。
• 利用局部到全局的一致性定理，将局部逼近结果拼接为一个全局的稀疏junta。
• 将稀疏junta定义为：在随机输入下，仅包含有限个非零单项式的函数，以捕捉$p$较小时的本质结构。
• 利用单项式及其稀疏性结构，界定原函数与稀疏junta之间的距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$p$较小时，$p$-偏差超立方体上的低次几乎布尔函数能否被junta逼近？
• RQ2 在$p$较小的条件下，何种函数结构类可推广junta，以替代传统junta失效的情形？
• RQ3 局部到全局一致性原理如何在稀疏设置中实现全局逼近？
• RQ4 低次几乎布尔函数在$p$较小时表现出何种定量偏差与大偏离特性？

主要发现

• $p$-偏差超立方体上的低次几乎布尔函数接近于稀疏junta，这是一类广义化的标准junta的新类别。
• 即使当$p$极小时，稀疏junta逼近依然成立，而传统junta在此情形下失效。
• 函数$y_1 + \cdots + y_{\epsilon/p}$被证明接近布尔函数，但不接近任何junta，从而说明稀疏junta的必要性。
• 本文证明此类函数必须具有极强的偏差，其偏差程度可用次数与$p$表示。
• 基于稀疏junta结构，建立了低次几乎布尔函数的大偏离界限。