[论文解读] Low distortion embeddings into Asplund Banach spaces

A. Procházka, Luis Sánchez-González|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2013

Advanced Banach Space Theory参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文构造了一个可数度量空间 $M$，该空间无法以严格小于 2 的畸变嵌入任何 Asplund Banach 空间。证明表明，此类嵌入迫使目标空间包含 $\ell_1$ 的拷贝，并表明 $M$ 可等距嵌入一个与 $\ell_1$ 同构的空间中，但无法以畸变小于 2 嵌入 $\ell_1$ 本身，从而在 Asplund 空间中确立了畸变的精确临界值。

ABSTRACT

We give a simple example of a countable metric space $M$ that does not embed bi-Lipschitz with distortion strictly less than 2 into any Asplund space. Actually, if $M$ embeds with distortion strictly less than 2 to a Banach space $X$, then $X$ contains an isomorphic copy of $\ell_1$. We also show that the space $M$ does not embed with distortion strictly less than $2$ into $\ell_1$ itself but it does embed isometrically into a space that is isomorphic to $\ell_1$.

研究动机与目标

• 确定 Asplund Banach 空间可双李普希茨嵌入所有可分度量空间的最小畸变 $D$。
• 研究若一个 Banach 空间以畸变 $D<2$ 嵌入所有可分度量空间，则其是否必然包含 $\ell_1$ 的拷贝。
• 分析特定可数度量空间 $M$ 嵌入 $\ell_1$ 和 Asplund $C(K)$ 空间时的嵌入性质。
• 阐明低畸变嵌入与 Banach 空间中 $\ell_1$-拷贝存在性之间的关系。
• 探讨广义圆度和自由 Banach 空间在嵌入限制中的作用。

提出的方法

• 构造一个可数度量空间 $M = \{\emptyset\} \cup \mathbb{N} \cup F$，其中 $F$ 是 $\mathbb{N}$ 的所有有限非空子集的集合，配备基于图结构的最短路径度量。
• 将双李普希茨嵌入 $f: M \to X$ 的畸变定义为 $\mathrm{dist}(f) = \inf \frac{C_2}{C_1}$，其中 $C_1 d(x,y) \leq \|f(x)-f(y)\| \leq C_2 d(x,y)$。
• 使用 Zippin 引理和对偶性论证，证明若 $X$ 是 $D$-双李普希茨通用的且 $D<2$，则 $X$ 必须包含 $\ell_1$ 的拷贝。
• 应用 Rosenthal 定理于弱柯西序列，证明 $X$ 中的序列 $f(n)$ 不是弱柯西序列，从而暗示存在 $\ell_1$-嵌入。
• 利用 Enflo 的广义圆度，证明由于 $1 \in gr(L_1(\mu))$，$M$ 无法以畸变 $D<2$ 嵌入 $L_1(\mu)$。
• 在 $\ell_1$ 上构造一个等价范数，使得 $M$ 可等距嵌入由此生成的空间中，利用 Lipschitz 自由空间 $\mathcal{F}(M)$ 与 $\ell_1$ 之间的同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何 Asplund Banach 空间是否都能以严格小于 2 的畸变嵌入所有可分度量空间？
• RQ2 若一个 Banach 空间以畸变 $D<2$ 嵌入所有可分度量空间，是否必然包含 $\ell_1$ 的拷贝？
• RQ3 构造的度量空间 $M$ 嵌入 $\ell_1$ 的最小畸变是多少？
• RQ4 $M$ 是否可等距嵌入一个与 $\ell_1$ 同构的空间中，即使无法以畸变小于 2 嵌入 $\ell_1$ 本身？
• RQ5 Banach-Mazur 距离 $\mathcal{F}(M)$ 与 $\ell_1$ 之间是多少？它与嵌入畸变有何关联？

主要发现

• 空间 $M$ 无法以严格小于 2 的畸变嵌入任何 Asplund Banach 空间。
• 任何以畸变 $D<2$ 嵌入 $M$ 的 Banach 空间 $X$ 必须包含 $\ell_1$ 的同构拷贝，此结论通过 Rosenthal 定理和弱柯西序列论证得到证明。
• $M$ 无法以严格小于 2 的畸变嵌入 $\ell_1$，原因在于广义圆度论证以及 $1 \in gr(L_1(\mu))$ 的事实。
• 尽管如此，$M$ 可通过 Lipschitz 自由空间构造，等距嵌入一个与 $\ell_1$ 同构的 Banach 空间中。
• $\mathcal{F}(M)$ 与 $\ell_1$ 之间的 Banach-Mazur 距离至少为 2，至多为 4，表明存在非平凡的同构关系。
• $C(K)$ 空间 $X$ 仅当 $K$ 不是散射集时，才是 $D$-双李普希茨通用的（$D<2$），且此类空间对可分 Banach 空间是等距通用的。