[论文解读] Lower Bounds for Exact Model Counting and Applications in Probabilistic Databases

Paul Beame, Jerry Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2013

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 22被引用 13

一句话总结

本文通过证明在某些公式类中，用于最先进的模型计数器的决策-DNNF表示需要指数级大小，建立了布尔公式中精确模型计数的指数下界。作者将决策-DNNF约化为自由二叉判定图（FBDD），并利用已知的FBDD下界，证明对于这些公式，精确模型计数本质上是昂贵的，该结果对概率数据库具有直接意义，因为在概率数据库中此类计数对于查询评估至关重要。

ABSTRACT

The best current methods for exactly computing the number of satisfying assignments, or the satisfying probability, of Boolean formulas can be seen, either directly or indirectly, as building 'decision-DNNF' (decision decomposable negation normal form) representations of the input Boolean formulas. Decision-DNNFs are a special case of 'd-DNNF's where 'd' stands for 'deterministic'. We show that any decision-DNNF can be converted into an equivalent 'FBDD' (free binary decision diagram) -- also known as a 'read-once branching program' (ROBP or 1-BP) -- with only a quasipolynomial increase in representation size in general, and with only a polynomial increase in size in the special case of monotone k-DNF formulas. Leveraging known exponential lower bounds for FBDDs, we then obtain similar exponential lower bounds for decision-DNNFs which provide lower bounds for the recent algorithms. We also separate the power of decision-DNNFs from d-DNNFs and a generalization of decision-DNNFs known as AND-FBDDs. Finally we show how these imply exponential lower bounds for natural problems associated with probabilistic databases.

研究动机与目标

• 建立用于概率数据库中布尔公式的精确模型计数的固有计算限制。
• 分析决策-DNNF表示的空间复杂度，这是现代模型计数器中的关键数据结构。
• 证明即使在单调或结构化的情况下，决策-DNNF也无法高效表示某些公式类。
• 表明已知的FBDD下界可推出对应于决策-DNNF的下界，从而证明对特定公式类实现高效精确计数的不可行性。
• 将这些理论结果应用于概率数据库中的实际问题，特别是在查询评估与查询优化方面。

提出的方法

• 作者将决策-DNNF表示约化为自由二叉判定图（FBDD），也称为一次读取分支程序（1-BPs），在一般情况下实现准多项式大小增长，在单调k-DNF情况下实现多项式增长。
• 他们利用已知的特定布尔函数在FBDD上的指数下界，推导出决策-DNNF的相应下界。
• 该约化依赖于决策-DNNF的结构特性，特别是其确定性和可分解性，以确保变换过程中的正确性与大小保持。
• 论文引入了AND-FBDD作为FBDD的推广，并将其与决策-DNNF的表达能力进行比较，以区分其计算能力。
• 理论分析基于计算复杂性理论，特别是电路复杂性与分支程序下界。
• 通过将查询评估建模为模型计数，将结果应用于概率数据库，表明某些查询需要指数时间才能精确评估。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般布尔公式，决策-DNNF表示能否被高效压缩为更小的等价形式，如FBDD？
• RQ2 决策-DNNF在单调k-DNF公式上的固有空间复杂度极限是什么？
• RQ3 已知的FBDD指数下界是否可推广至决策-DNNF？若可推广，其条件是什么？
• RQ4 决策-DNNF与d-DNNF及AND-FBDD在表达能力上如何比较？对模型计数有何影响？
• RQ5 这些理论下界对概率数据库中精确查询评估的实际后果是什么？

主要发现

• 任何决策-DNNF均可转换为等价的FBDD，一般情况下仅产生准多项式大小增长，对于单调k-DNF公式则为多项式增长。
• 在某些布尔函数上，FBDD的指数下界可推出决策-DNNF的相应指数下界，证明这些公式的精确模型计数本质上是昂贵的。
• 论文将决策-DNNF与d-DNNF及AND-FBDD区分开来，表明决策-DNNF严格强于d-DNNF，而AND-FBDD在表达能力上与决策-DNNF不可比较。
• 结果表明，对于某些公式类，即使使用最先进的基于决策-DNNF的算法，精确模型计数仍需指数时间与空间。
• 这些下界可直接应用于概率数据库，表明对某些类型的选择性查询进行精确查询评估在多项式时间内不可行。