[论文解读] Lower Bounds for Maximum Weighted Cut

Gregory Gutin, Anders Yeo|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用 1

一句话总结

本文利用概率方法、Vizing 定理及图的结构性质，为加权图中的最大权割（MWC）问题建立了新的下界。提出了一个新颖的通用下界，并针对围长有界图与最大度 ≤3 的无三角形图得出了更强的结果，包括对子立方无三角形图的关键下界 mac(G) ≥ 8/11 · w(G)，以及对无三角形图（含生成树 T）的猜想下界 mac(G) ≥ w(G)/2 + 3w(T)/8。

ABSTRACT

Let G be a graph on n vertices. For i ∈ {0,1} and a connected graph G, a spanning forest F of G is called an i-perfect forest if every tree in F is an induced subgraph of G and exactly i vertices of F have even degree (including zero). An i-perfect forest of G is proper if it has no vertices of degree zero. Scott (2001) showed that every connected graph with even number of vertices contains a (proper) 0-perfect forest. We prove that one can find a 0-perfect forest with minimum number of edges in polynomial time, but it is NP-hard to obtain a 0-perfect forest with maximum number of edges. We also prove that for a prescribed edge e of G, it is NP-hard to obtain a 0-perfect forest containing e, but we can find a 0-perfect forest not containing e in polynomial time. It is easy to see that every graph with odd number of vertices has a 1-perfect forest. It is not the case for proper 1-perfect forests. We give a characterization of when a connected graph has a proper 1-perfect forest.

研究动机与目标

• 为一般加权图中的最大权割（MWC）问题开发新的可计算下界。
• 在具有结构约束（如围长有界或无三角形性）的图中，改进现有非平凡的 MWC 下界。
• 通过以 DFS 树替代最小生成树，扩展 Poljak-Turzák 下界，并探讨此类改进的计算复杂性。
• 研究最大度有界的无三角形图（尤其是子立方图）的结构性质，并推导出更紧致的 MWC 下界。

提出的方法

• 引入通用下界：对 G 的任意 B-子图 R，有 mac(G) ≥ (w(G) + w(R))/2，该下界推广了 Poljak-Turzák 下界。
• 利用概率方法分析顶点划分的随机 2-着色，推导出期望割权重。
• 应用 Vizing 的边染色指数定理对图进行边着色，利用子图中的匹配与环结构。
• 基于 DFS 树、最大权生成树与最大权匹配构造下界，推导出新的不等式。
• 证明：在下界中以最大权 DFS 树替代 DFS 树会使下界计算变为 NP-难，即使对无三角形图也是如此。
• 通过凸组合合并不同结构情形（A0、A1、A2）的多个不等式，推导出紧致的整体下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过以 DFS 树替代最小生成树，改进 Poljak-Turzák 下界 mac(G) ≥ w(G)/2 + w(Tmin)/4？
• RQ2 是否可能为围长有界或无三角形图的 MWC 问题，获得强于现有下界的多项式时间可计算下界？
• RQ3 对最大度 ∆ ≤ 3 的无三角形图，形式为 mac(G) ≥ a∆ · w(G) 的最佳可能下界是什么？
• RQ4 每个无三角形子立方图是否都存在一个边集 E′，使得每个 5-圈恰好包含 E′ 中的一条边？该性质与 MWC 下界有何关联？
• RQ5 能否证明对任意无三角形图 G 及其任意生成树 T，均有 mac(G) ≥ w(G)/2 + 3w(T)/8？

主要发现

• 本文证明了对 G 中任意 DFS 树 D，有 mac(G) ≥ w(G)/2 + w(D)/4，该下界强于 Poljak-Turzák 下界，因其不要求树为最小权。
• 对最大度 ∆(G) ≤ 3 的无三角形图，本文建立了紧致下界：mac(G) ≥ 8/11 · w(G)，优于先前结果。
• 本文证明了对任意无三角形子立方图 G 及其任意生成树 T，有 mac(G) ≥ w(G)/2 + 0.3193 · w(T)，展现出对树权的强线性依赖。
• 已证明：在下界中以最大权 DFS 树替代 DFS 树会使下界计算变为 NP-难，即使对无三角形图也成立。
• 本文猜想：对任意无三角形图 G 及其任意生成树 T，有 mac(G) ≥ w(G)/2 + 3w(T)/8，该猜想将 8/11 下界推广至更广范围。
• 本文证明了对最大度为 ∆ 的无三角形图，有 mac(G) ≥ a∆ · w(G)，其中 a∆ > 1/2，且表明当 ∆ ≤ 16 时，定理 5.12 的下界强于 Shearer 的下界。